Коэффициенты четырехполюсника моделей лэп

Модель	A	B	C	D
Уравнения длинной линии
Уравнения идеальной линии
Модель с сосредоточенными параметрами П-образной схемы замещения
Модель с сосредоточенными параметрами Г-образной схемы замещения	1			1

Пример 2.Выполним оценку погрешностей двух упрощенных математических моделей ЛЭП – уравнений идеальной линии и уравнений для П-образной схемы замещения без учета распределенности параметров – для конкретной ЛЭП 500 кВ. Для этого построим зависимости напряжения в начале линииU₁от длины линии при передаче мощности нагрузки, близкой к натуральной мощности линии. Конструкция фазы линии: 3хАС-400/51. Расчеты и графические построения выполним в системеMathcad. Приведенные ниже значения параметров линии выражены в омах, сименсах и радианах. Параметры режима ЛЭП даны в киловольтах, килоамперах, мегаваттах и мегаварах.

Длина и погонные параметры линии:

Передаваемая мощность и напряжение в конце линии:

Расчетные параметры ЛЭП:

Для идеальной линии:

Определим функции напряжения и тока в начале линии для трех моделей ЛЭП:

Относительные погрешности напряжения в начале линии:

Графики напряжений в начале линии:

Графики относительных погрешностей напряжения в начале линии для упрощенных математических моделей:

Примем допустимую относительную погрешность в вычислении напряжения – 1 %. Из графиков погрешностей видно, что погрешность в определении напряжения в начале линии для модели идеальной линии превышает допустимую уже при 120 км, а по току – при 600 км; погрешность для модели без учета распределенности параметров допустима для линий длиной до 500 км.

Аналогичные графики погрешностей можно построить для указанных моделей для тока в начале линии.

21. Исследование математических моделей силовых трансформаторов

Цель работы.Ознакомление с упрощенными математическими моделями силовых трансформаторов, используемых для анализа установившихся режимов ЭЭС.

Задание

Оценить погрешности математических моделей трансформатора:

• упрощенной Г-образной схемы замещения трансформатора, в которой отсутствуют активные параметры;

• Схемы замещения трансформатора без учета потерь холостого хода и мощности намагничивания сердечника. Краткие теоретические сведения

Трехфазные силовые трансформаторы имеют обмотки на общем сердечнике и поэтому являются трансформаторами с сильной связью. Режимы, в которых работают эти трансформаторы, как правило, являются линейными, т. е. насыщение сердечника отсутствует. В энергосистемах используются однофазные и трехфазные трансформаторы.

Трансформаторы изготавливаются с примерно одинаковыми параметрами фаз, и поэтому симметричные режимы достаточно моделировать, рассматривая всего лишь одну фазу трансформатора.

Схема замещения трансформатора может быть представлена в виде сосредоточенных параметров для обмоток и сердечни­ка, учитывающих различные физические эффекты. К ним относятся потери мощности на гистерезис и вихревые токи и эффект намагничивания стального сердечника, потери мощности на нагрев обмоток и ЭДС самоиндукции обмоток из-за магнитных потоков рассеяния вследствие протекания по ним переменного электрического тока.

Рассмотрим полную Т-образную схему замещения одной фазы двухобмоточного трансформатора (рис. 3.1).

Рис. 3.1.Полная Т-образная схема замещения трансформатора

Потери энергии учитываются активными сопротивлениями обмоток R₁иR₂. ИндуктивностиL₁ иL₂, учитывают эффект запасания энергии и наведение напряжения в обмотках от потоков рассеяния.

Намагничивание стального сердечника моделируется током намагничивания, который протекает по индуктивности намагничивания L_μ (реактивная проводимость B_μ). Потери в сердечнике на гистерезис и вихревые токи в стали учитываются активной проводимостьюG_μ.

Во многих случаях ветвь намагничивания удобнее расположить в начале схемы со стороны питания (первичной обмотки для понижающих трансформаторов), а сопротивления обмоток трансформатора сложить последовательно, приводя сопротивления вторичной обмотки к напряжению первичной через коэффициент трансформации (рис. 3.2).

Рис.3.2.Г-образная схема замещения трансформатора

Коэффициент трансформации n равен отношению номинальных напряжений трансформатора. Для понижающего трансформатора примем за коэффициент трансформации отношение напряжения первичной обмотки к напряжению вторичной обмотки:

(3.1)

Рис. 3.3. П-образная схема замещения

Для расчетов на ЭВМ удобна П-образная схема замещения трансформатора (рис. 3.3).

В отличие от схемы замещения ЛЭП П-образная схема замещения трансформатора является несим-метричной:

(3.2)

Сопротивления и проводимости Г-образной схемы замещения трансформатора, приведенные к напряжению обмотки первичного напряжения, определяются по формулам:

(3.3)

Все использованные в формулах параметры берутся из справочных данных по трансформаторам.

Для практических расчетов схем электрических сетей используются разные упрощенные математические модели, среди которых можно назвать следующие:

• модель, в которой не учитываются активные параметры схемы замещения R_тиG_μ;

• модель, в которой не учитываются потери холостого хода и мощность намагничивания стального сердечника (параметры G_μи B_μ).

Для записи математических моделей воспользуемся формой уравнений четырехполюсника:

(3.4)

Коэффициенты уравнений четырехполюсника связаны с параметрами П-образной схемы замещения по следующим соотношениям:

(3.5)

Подставив (3.2) в (3.5), получим коэффициенты четырехполюсника через параметры схемы замещения трансформатора:

(3.6)

В модели (3.6) учитываются все параметры схемы замещения трансформатора. Эту модель будем считать эталонной для сопоставления с упрощенными моделями.

Модель без учета активных параметров имеет коэффициенты четырехполюсника в виде:

(3.7)

Коэффициенты четырехполюсника для модели, не учитывающей потери холостого хода и мощность намагничивания, равны:

(3.8)

В настоящей работе будут использоваться три приведенные выше модели. Эталонную модель назовем Модель 1, а две другие, соответственно, Модель 2 и Модель 3.

В качестве меры погрешности моделей построим следующие характеристики трансформатора:

• для оценки погрешности Модели 2 – выходную характеристику трансформатора U₂=f(I₂) приU₁= const:

• для оценки погрешности Модели 3 – характеристику I₁=(I₂) приU₂ = const.

Выполним указанные построения при изменении тока вторичной обмотки от нуля до I_номдля трех различных коэффициентов мощности: 0,8; 0,9 и 1,0.

С помощью полученных зависимостей найдем относительные погрешности Моделей 2 и 3 путем сравнения построенных по ним характеристик трансформатора с характеристиками по эталонной модели.

Выходную характеристику U₂=f(I₂) построим из уравнения

. (3.9)

Примем U₁=U₁= const (совместим с вещественной осью), тогда векторная диаграмма токов и напряжений трансформатора будет иметь вид, как на рис. 3.4.

В

Рис. 3.4. Векторная диаграмма 1

ыразим из (3.9) напряжениеU₂:

. (3.10)

Ток в (3.10) имеет угол сдвига относительно вещественной оси –(δ + φ) (см. рис. 3.4), и в уравнении (3.10) будет два неизвестных |U₂| и δ, где δ входит в левую часть уравнения (3.10):U₂e^–jδи в правую:I₂e^{–j(δ + φ)}. Следовательно, зависимостьU₂=f(I₂) необходимо строить путем решения уравнения (3.10).

Для удобства примем совмещенным с действительной осью вектор U₂, тогда векторная диаграмма токов и напряжений примет вид, как на рис. 3.5, и напряжениеU₂:

, (3.11)

где U₁ = U₁e^jδ; I₂ = I₂e^–jφ.

Разделим уравнение (3.11) на два уравнения с вещественными переменными. С учетом A=A=nиB=B' +jB'', будем иметь систему уравнений:

, (3.12)

Так как и, получаем систему уравнений:

(3.13)

с неизвестными U₂,U₁иU₁.

Изменяя ток I₂в пределах от нуля доI_2ном, будем искать решение системы уравнений (3.13) для каждого значенияI₂и строить зависимостьU₂=f(I₂).

В Mathcadверсии 6 и выше имеется возможность определения функции как решения системы уравнений. Для этого выражение с Find имеет вид определения функции:

f(x): =Find(y₁,y₂,…y_n)

и далее в документе Mathcad f(x) становится определенной и является функцией аргументовx, которые включаются как параметры в решаемую систему уравнений.f(x) есть вектор-функция, где элементами являются искомые величиныy₁,y₂, …y_n.

В нашем случае аргументами функции с Find будут I₂и cosδ, который также будет различным для разных выходных характеристик.

Для удобства записи введем еще две переменные I'₂=I₂cosφ иI''₂=I₂sinφ.

Пример определения функции как решения системы уравнений:

Здесь функция Fявляется вектор-функцией, т. е. содержит пять элементов (по числу неизвестных). Первый элемент дает функциюU₂, второй –U₁и т. д. Нас интересует только первый элемент: функцияU₂отI₂и cosφ. Если переменная ORIGIN в Mathcad имеет заданное по умолчанию значение 0, то наша функция будет использоваться в виде:F(I₂,cosφ)₀. Так, например, для cosφ = 0,8 выходная характеристика будет строиться по функцииF(I₂, 0.8)₀при изменении тока от 0 доI_ном.

Характеристику I₁= φ(I₂) будем строить по уравнению четырехполюсника:

. (3.14)

Также будем считать U₂совмещенным с действительной осью, тогдаI₂=I₂e^-jφи

. (3.15)

В данном случае построение зависимости I₁=φ(I₂) выполняется без решения системы уравнений.

Определим функцию I₁= φ(I₂, cosφ) и построим зависимость ее модуля дляI₂= 0 ...I_2ном для трех значений cosφ: 0,8; 0,9 и 1,0.

Полученные характеристики для трех моделей следует использовать для построения функций погрешностей по отношению к эталонной модели – полной Г-образной схеме замещения, где учитываются все физические эффекты в стали и обмотках трансформатора.

Обозначим модели, используя разные буквы для функций:

• для U₂ = f(I₂):

F_I– полная Г-образная схема замещения (эталон, Модель 1);

F_II– Г-образная схема без активных параметров (Модель 2).

• для I₁ = φ(I₂):

Ф_I– полная Г-образная схема замещения (эталон, Модель 1)

Ф_III– Г-образная схема замещения без учета потерь холостого хода и мощности намагничивания (Модель 3).

Тогда функции погрешностей (в процентах) можно определить как

(3.15)