6 Квантова природа випромінювання Теплове випромінювання

1. Закон Стефана – Больцмана для абсолютно чорного тіла

R = T⁴,

де R – інтегральна випромінювальна здатність або енергетична світність абсолютно чорного тіла;

 – стала Стефана – Больцмана ( = 5,6710^-8 Вт/м² К⁴);

Т – термодинамічна температура тіла.

2. Закон Стефана – Больцмана для сірого тіла

Rc = T⁴,

де  – поглинальна здатність тіла, яка визначається відношенням поглинутої енергії до падаючої.

3. Закон Кірхгoфа

,

де _,T – спектральна випромінювальна здатність будь-якого тіла;

_,T – спектральна поглинальна здатність будь-якого тіла;

r_,T – стала величина для всіх тіл, називається спектральною випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла.

4. Закон зміщення Віна

_max = ,

де _max – довжина хвилі, на якій енергія випромінювання абсолютно чорного тіла досягає максимуму;

b – стала Віна (b = 2,910^-3 мК);

Т – термодинамічна температура.

5. Формула Планка через частоту  випромінювання:

,

де r_,T – спектральна випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла при температурі Т і в діапазоні частот від ν до ν + dν;

 – частота випромінювання;

с – швидкість світла;

h – енергія кванта;

k – стала Больцмана (k = 1,3810^-23 Дж/К);

h – стала Планка (h = 6,6210^-34 Джс);

Т – термодинамічна температура.

6. Формула Планка через довжину хвилі 

.

7. Залежність максимальної спектральної густини випромінювання абсолютно чорного тіла від температури:

(r_,T)_max = c  T⁵,

де с – стала величина (с = 1,3010^-5 Вт/м²К⁵).

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Абсолютно чорне тіло знаходиться при температурі 2900К. В результаті охолодження довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності тіла, зменшилась на  = 9 мкм. До якої температури було охолоджено тіло?

Дано:

Т₁ = 2900 К

 = 9 мкм

___________

Т₂ – ?

Розв`язування. Згідно з законом Віна, довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла, розраховується за формулою

_max = .

Після охолодження довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності, зросте на величину :

( + )_max = .

Після нескладних перетворень одержуємо:

.

Звідки

T_{2 = .}

Підставимо числові значення

= 290 K.

Відповідь: Т₂ = 290 К.

Приклад 2. Температура Т абсолютно чорного тіла дорівнює 2000 К. Визначити спектральну густину випромінювальної здатності r_,T для довжини xвилі  = 600 нм.

Дано:

Т = 2000 К

 = 600 нм

___________

r_,T – ?

Розв`язування. Скористаємось формулою Планка через довжину хвилі 

де h = 6,6210^-34 Джс; c = 310⁸ м/с; к = 1,3810^-23 Дж/К;  = 600 нм; Т = 2000 К.

Підставимо числові значення

=

= 29,810¹⁰ Вт/м³.

Відповідь. r_,T = 29.810¹⁰ Вт/м³.

Приклад 3. Потужність випромінювання абсолютно чорного тіла дорівнює 10 кВт. Визначити величину поверхні випромінювання, якщо відомо, що довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини його випромінювальної здатності, дорівнює 710^-7 м.

Дано:

Р = 10 кВт

_max = 710^-7 м

_____________

S – ?

Розв`язування. Інтегральна випромінювальна здатність aбсолютно чорного тіла дорівнює

R = , (1)

де W – повна енергія випромінювання; S – величина поверхні випромінювання; t – час випромінювання.

Згідно з законом Стефана – Больцмана інтегральну випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла визначають також за формулою:

R =  T⁴, (2)

де  – стала Стефана – Больцмана;

Т – термодинамічна температура.

Значення термодинамічної температури знаходять із закону зміщення Віна:

, (3)

де b – стала Віна.

Прирівнюючи праві частини формул (1) і (2) та враховуючи (3), знаходимо площу випромінювання

,

де – потужність випромінювання.

Отже, одержуємо:

S = .

Підставимо числові значення

S = =5,98  10^-4 м² .

Відповідь. S = 5,9810^-4 м²  6 см².

Приклад 4. Обчислити температуру поверхні Сонця, якщо відомо, що сонячна стала, яка дорівнює потужності енергії випромінювання на один м² площини, що розміщена перпендикулярно до сонячного проміння біля поверхні Землі, становить 1,410³ Вт/м².

Дано:

С = 1,410³ Вт/м²

_______________

Т – ?.

Розв`язування. Зв`язок енергії випромінювання з одиниці площі поверхні Сонця за одиницю часу, з температурою випромінювання дається законом Стефана – Больцмана

R =  T⁴,

Енергія, яка випромінюється всією поверхнею Сонця, дорівнює

W = T⁴ 4r² ,

де r – радіус Сонця.

Величину цієї енергії можна розрахувати також через сонячну сталу, помножену на площу поверхні радіусом, рівним відстані від Землі до Сонця,

W = C4R²,

де С – сонячна стала;

R – радіус земної орбіти.

Прирівнюючи праві частини цих рівностей та розв`язуючи одержане рівняння відносно температури, знаходимо

T = .

Підставимо числові значення

= 5800 K.

Відповідь: Т = 5800 К.