5.2.2 Відділення коренів рівняння

Відділити корені – це значить розділити всю область допустимих значень на відрізки, що містять всередині один корінь.Це можна зробити або графічним, або аналітичним способами.

В графічному методі будують графік функції для рівняння (5.28). Абсциси точок перетину графіка функціїз віссю0х є значеннями дійсних коренів рівняння. Оскільки побудова графіка функції по точках є трудомістким процесом, то зазвичай вихідне рівнянняперетворюють до вигляду. Інтервал ізоляції кореня знаходиться на числовому проміжку, що містить абсцису точки перетину графіків функцій і (рис. 5.2).

Приклад. Задано рівняння Відділити корені рівняння графічним методом.

Розв’язання:

1) Перетворюємо задане рівняння до вигляду .

2) Виконуємо наближену побудову графіків і(рис.5.2).

3) По рисунку визначаємо, що за інтервал ізоляції кореня можна прийняти відрізок [-1..0].

Рисунок 5.2 – Відділення коренів графічним способом

Графічний метод відділення коренів не володіє великою точністю. Він лише дає можливість грубо визначити інтервали ізоляції кореня.

Аналітично корені рівняння (5.28) можна відділити, використовуючи деякі властивості функцій. Ці властивості визначаються наступними теоремами, які наведені без доведення:

Теорема 1. Якщо функція неперервна і монотонна на відрізку [a..b] і приймає на кінцях цього відрізку значення різних знаків, то всередині відрізка існує по крайній мірі один корінь рівняння .

Теорема 2. Якщо функція неперервна і монотонна на відрізку [a..b] і приймає на кінцях відрізку значення різних знаків, то всередині відрізка міститься корінь рівняння і цей корінь єдиний.

Теорема 3. Якщо функція неперервна на відрізку [a..b] і приймає на кінцях відрізку значення різних знаків, а похідна зберігає постійний знак всередині відрізка, то всередині відрізка міститься корінь рівняння, причому цей корінь єдиний.

Таким чином, зміна знаку функції на деякому відрізку свідчить про наявність на даному відрізку коренів рівняння. Практично для відділення коренів аналітичним методом виконують наступні дії:

1. Знаходять першу похідну .

2. Прирівнюють першу похідну до нуля і знаходять критичні точки (точки, в яких може бути екстремум).

3. Складають таблицю знаків функції, вважаючи х рівним:

а) критичним значенням для похідної чи найближчим до них;

б) граничним значенням невідомого (виходячи з ОДЗ невідомого).

4. Визначають інтервали, на кінцях яких функція приймає значення протилежних знаків. Всередині них є тільки по одному кореню.

5.2.3 Уточнення коренів методом половинного ділення

Якщо на етапі відділення коренів знайдено відрізок [a..b], на якому знаходиться корінь рівняння, то для знаходження значення кореня із заданою точністю необхідно визначити новий, більш вузький інтервал такий, щоб виконувалась умова

.

Одним із зручних для реалізації на ЕОМ методом уточнення коренів є метод половинного ділення, суть якого полягає в наступному:

Припустимо, що корінь відділений і знаходиться на відрізку [a..b], тобто , причому . Виберемо на відрізку[a..b] проміжну точку с таким чином, щоб вона ділила даний відрізок навпіл. Якщо , тос точний корінь рівняння . В протилежному випадку з двох утворених відрізківівиберемо той, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків (рис.5.3).

Рисунок 5.3 – Геометрична ілюстрація метода половинного ділення

Позначимо цей відрізок . Після цього відрізоктеж методом ділимо навпіл і виконуємо аналогічні дії. Проце поділу відрізка навпіл проводимо до тих пір, коли на якомусьn-тому кроці буде отримано відрізок такий, що

.

За наближене значення кореня потрібно прийняти

.

Схема алгоритма знаходження коренів рівняння методом половинного ділення представлена на рис.5.4.

Рисунок 5.4 –Схема алгоритма знаходження коренів методом половинного ділення