Лабораторна робота №6

Чисельні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь

Завдання на лабораторну роботу:

• ознайомитися з теоретичними відомостями;

• розв’язати задане диференціальне рівняння модифікованим методом Ейлера і методом Рунге-Кутта четвертого порядку. Порівняти результати і зробити висновок.

Теоретичні відомості

6.1 Чисельні методи розв’язання диференціальних рівнянь

6.1.1 Загальні визначення

Диференціальним називається рівнянн, яке пов’язує між собою незалежну змінну х, шукану функцію та її похідні:

. (6.1)

Якщо є функцією однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним (на відміну від рівняння в частинних похідних).

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить до рівняння. Наприклад, рівняння

є рівнянням першого порядку.

Розв’язком, або інтегралом диференціального рівняння називається всяка функція , яка при підстановці в рівняння (6.1) перетворює його в тотожність.

В подальшому будемо розглядати тільки методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з однією початковою умовою (задача Коші),

(6.2)

(6.3)

оскільки рівняння вищих порядків нескладно перетворити до системи рівнянь першого порядку. Наприклад, рівняння другого порядку можна переписати в такому вигляді:

Існує велика кількість аналітичних методів розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку (6.2), що дозволяють отримати розв’язок у вигляді функціональної залежності , де постійнаС визначається, виходячи з початкових умов (6.3). Але в багатьох випадках диференціальні рівняння не мають аналітичного розв’язку, тому для його знаходження застосовують чисельні методи. Ці методи дають розв’язок задачі у вигляді таблиць числових значень шуканої функції для заданих значень аргумента.

Спрощено процес чисельного розв’язання диференціального рівняння можна пояснити наступним чином. Як відомо, розв’язок геометрично можна зобразити у вигляді кривої на площині х0у. Диференціальне рівняння задає нахил даної кривої в будь-якій точці як функцію від х і від у. Спочатку з початкових умов відома тільки одна точка кривої (). Тому, починаючи з цієї точки, обчислюємо нахил кривої і просуваємося на деяку невелику відстань вздовж отриманої дотичної. Завдяки цьому в новій точціотримаємо нове значення. Продовжуючи цю процедуру далі, аналогічно отримуємо послідовність коротких відрізків прямої, які є наближенням до шуканої кривої.

Існує два широких класи чисельних методів розв’язання диференціальних рівнянь:

1) одноступеневі, в яких для знаходження чергової точки кривої використовується тільки інформація про саму криву в одній точці і не виконується ітерація;

2) багатоступеневі, в яких для знаходження чергової точки кривої потрібна інформація про раніше обчислені точки; ці методи для досягнення заданої точності потребують ітерацій.

До першого класу можна віднести методи Рунге-Кутта, до другого – методи прогнозу і корекції.