§ 10. Аналитическая геометрия на плоскости

Системой координат называют совокупность условий , определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве.

Две перпендикулярные прямые на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одну из указанных прямых называют осью , или осью абсцисс, другую – осью ординат или осью. Эти прямые называют также координатными осями.

Декартовыми прямоугольными координатами иточкибудем называть соответственно величины направленных отрезков равных расстояниям от точкидо осии д

о оси. Рис 9.

Рис. 9.

Линией на плоскости называют геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

. (10.1)

Уравнение (10.1) называется уравнением линии, относительно заданной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты илюбой точки лежащей на линии, и не удовлетворяют координатыини одной точки, не лежащей на этой линии.

Среди линий различают алгебраические линии и трансцендентные линии. Линия называется алгебраической, если уравнение линии есть полином степени относительно неизвестныхи, т.е.

, (10.2)

где - коэффициенты многочлена (заданные числа).

Справедлива следующая теорема.

Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени.

§ 11. Различные уравнения прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (11.1)

где – постоянные коэффициенты, причем, определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Справедливо и обратное утверждение: в декартовых координатах всякая прямая определяется уравнением первой степени относительнои.

2. Неполное уравнение прямой.Если в общем уравнении прямой (11.1) один или два из трех коэффициентов обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) ; уравнение имеет види определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) ; уравнение имеет види определяет прямую, параллельную оси;

3) ; уравнение имеет види определяет прямую, параллельную оси;

4) ; уравнение может быть записано в видеи определяет ось;

5) ; уравнение записывается в видеи определяет ось.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если из общего уравнения прямой выразить у как функцию переменной, то получим уравнение

, (11.2)

которое называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент равен тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси. Коэффициентравен ординате точки пересечения прямой с осью.

4. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой , то поделив все члены уравнения на, получим уравнение вида

(11.3)

которое называется уравнением прямой в отрезках, и- отрезки, отсекаемые прямой от осей координат.

5. Нормальное уравнение прямой.

Если обе части общего уравнения прямой умножить на число , которое называют нормирующим множителем, то получим уравнение

. (11.4)

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Знак нормирующего множителя выбирают из условия . Коэффициентв нормальном уравнении прямой равен длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и определяет расстояние от начала координат до прямой;- угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси.

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если даны координаты двух точек М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), то уравнение прямой, проходящей через эти точки, записывается в виде:

. (11.5)

Если , то уравнение прямой, проходящей через точкииимеет вид. Если, то уравнение имеет вид.

7. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Всякий ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) в направлении вектораимеет вид:

. (11.6)

Это уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.

8. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Если каждое из равных отношений в каноническом уравнении прямой обозначить буквой tи из полученных равенств выразить х и у, то получим систему:

(11.7)

Эту систему называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) в направлении вектора.

9. Расстояние от точки до прямой Ах + Ву + С = 0находится по формуле:.

Отклонением точкиот прямой Ах + Ву + С = 0 называют величину.

10. Угол между прямыми.

Две прямые на плоскости могут быть параллельными, совпадающими или пересекающимися. Если прямые заданы общими уравнениями

,, то:

1) если - прямые совпадают;

2) если - прямые параллельны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми можно определить по формуле:

.

Если , то прямые перпендикулярны.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

, то:

1) если - прямые параллельны;

2) если - прямые перпендикулярны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми определяется по формуле:.

Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения определяют из системы:

в случае задания прямых их общими уравнениями. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то система имеет вид:

Пример13. Даны вершины треугольника А(-5; 10), В(5; 16), С(3; 2). Написать:

1) уравнения сторон треугольника;

2) уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А;

3) уравнение биссектрисы угла С;

4) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершины А.

Решение.

1). Запишем уравнение стороны АВ: так как координаты вершин А и В известны, то воспользуемся уравнением прямой , проходящей через две точки:

или преобразуя получим

Запишем уравнение стороны АС: или

Запишем уравнение стороны ВС: , или

2). Вычислим координаты М середины стороны ВС:

Длину медианы АМ вычислим по формуле:

Запишем уравнение медианы АМ: или

Вычислим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого выразим у из ее уравнения: ,

тогда угловой коэффициент . Высота, опущенная из вершины угла А, перпендикулярна стороне ВС. Ее угловой коэффициентнайдем из условия перпендикулярности:. Тогда.

Запишем уравнение высоты, как уравнение прямой , проходящей через точку А(-5; 10) с угловым коэффициентом :.

Определим из условия, что точка А принадлежит прямой

Подставляя в уравнение высоты, получим: или.

3). По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:

, гдеD– точка пересечения биссектрисы со стороной АВ.

Найдем координаты точки Dпо формулам деления отрезка в данном отношении:

Запишем уравнение биссектрисы СD:

, или после преобразования,

4). Длина высоты равна расстоянию dточки А от прямой ВС. Запишем нормальное уравнение прямой ВС:

Длина медианы АМ найдена в пункте 2.

Ответ: 1) ,,;

2) - уравнение медианы,

- уравнение высоты;

3) - уравнение биссектрисы угла С;

4) - длина высоты;- длина медианы.