- •§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными
- •§ 2. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными
- •§ 3. Матрицы и определители
- •§ 4. Определители произвольного порядка
- •§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •§6. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •§7. Векторы и линейные операции над ними
- •§8. Умножение векторов
- •§9. Комплексные числа
- •§ 10. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Различные уравнения прямой на плоскости.
- •§12. Кривые второго порядка
- •§13. Уравнение плоскости
- •§ 14. Прямая в пространстве.
- •§15. Поверхности второго порядка.
- •§16. Преобразование декартовых координат.
- •§17. Полярная система координат.
- •Расчётно-графическая работа «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
- •Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.
Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.
Задание 1. Найти область решения системы неравенств. Сделать чертеж.
Решение.
Заменим в данной системе каждое неравенство равенством. По полученным уравнениям построим прямые. Каждая прямая разделит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых выполняется неравенство, в другой - нет. Часть плоскости, в которой выполняются все неравенства и есть область решения.
Рис.1
Ответ. Областью решения служит четырехугольник ABCD.
Задание 2. Решить систему уравнений двумя способами:
Методом Гауcса
Матричным методом.
Решение.
Вычислить определитель системы ∆:
∆==
Следовательно, система имеет единственное решение.
Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу, и, применяя элементарные преобразования, приведем ее к диагональному виду
Проверка:
Решим систему матричным методом. Составим обратную матрицу А-1.
Вычислим алгебраическое дополнение Аίj:
Ответ:
Задание 3. Дана пирамида:,,,.
Найти:
1)угол между ребрами и.
2)уравнение плоскости ;
3)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань;
4)угол между ребром и гранью;
5)объем пирамиды;
6)площадь грани . Сделать чертеж.
Решение.
1)Найти координаты векторов и:
= ===
Вычислим косинус угла образованного векторамии:
2)Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости :
3)Вычислим векторное произведение векторов и:
Так как вектор векторного произведения перпендикулярен плоскости , то его можно принять за направляющий вектор высоты. Уравнения высоты будет иметь вид:
Найдем координаты точки , пересечения прямойс плоскостью. Запишем уравнение плоскости:
Уравнение высоты запишем в параметрической форме и решим систему:
; ;
Вычислим длину высоты :
Уравнение высоты :
Длинна
4)Вычислим синус угла между ребром и гранью:
рад.
5)вычислим объем пирамиды :
ед.
6) Вычислим площадь грани :
ед
Сделаем чертеж:
Рис. 2
Задание 4. Даны векторыв некотором базисе.
Показать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав базисе .
=,=,=,=
Решение.
Три вектора образуют базис в пространстве, если они некомпланарны. Условием компланарности трех векторов служит равенство
Вычислим смешенное произведение:
Следовательно, векторы образуют базис.
Найдем координаты вектораdв этом базисе.
Разложение вектора в базисе , имеет вид:=
Переходя к координатам записи, получим:
Решим систему по формуле Крамера:
∆=9
Найдем вспомогательные определители:
,,
Искомое разложение имеет вид: +-
Задание 5. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Сделать чертеж. Найти координаты фокусов и вершин. .
Решение.
Выделим полные квадраты по и:
Полученное уравнение - уравнение гиперболы. Центр симметрии в точке 0(0: 3). Действительная полуось гиперболы ; мнимая полуось.
Получим координаты фокусов:
, .
Координаты вершин: ,,,
Рис.3
Задание 6. Дано комплексное число . Записать комплексное число в алгебраической и трибометрической формах. Найти все корни уравнений. Результат изобразить схематически.
Решение.
Запишем комплексное число в алгебраической форме:
Найдем модуль комплексного числа:
Решим уравнение: .
Запишем число zв тригонометрической форме:
По правилу извлечения корня третьей степени из z,получим:
Изобразим схематически полученные результаты.
Алгебраическая форма:
Тригонометрическая форма:
Корни уравнения:
Задание 7. Найти собственные векторы линейного преобразования, приводящего квадратическую формук каноническому виду. Установить вид кривой и сделать чертеж.
Решение.
Составим матрицу квадратной формы:
Найдем собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определяемого матрицей А:
Найдем корни полученного уравнения:
.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям:
Пусть , тогда
Собственный вектор . Найдем единичный вектор: =.
Пусть , тогда.
Собственный вектор = Единичный вектор: =
Составим матрицу преобразования:
Запишем формулы преобразования координат:
Поставим в квадратную форму:
Полученное уравнение описывает гиперболу.
Действительная полуось гиперболы , мнимая полуось.
Сделаем чертеж.
Рис. 5
Содержание
Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными………………….3
Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными………..5
Матрицы и определители……………………………………………………….7
Определители произвольного порядка……………………………………….10
Системы линейных алгебраических уравнений……………………………..12
Методы решения системы линейных алгебраических уравнений………….14
Векторы и линейные операции над ними…………………………………….16
Умножение векторов…………………………………………………………...21
Комплексные числа…………………………………………………………….24
Аналитическая геометрия на плоскости……………………………………..29
Различные виды уравнения прямой на плоскости…………………………..30
Кривые второго порядка………………………………………………………36
Уравнение плоскости………………………………………………………….43
Прямая в пространстве………………………………………………………..47
Поверхности второго порядка………………………………………………...51
Преобразование декартовых координат……………………………………...58
Полярная система координат…………………………………………………60
Варианты расчётно-графической работы…………………………………….62
Пример выполнения расчетно-графической работы………………………..71