Глава 2. Численные методы решения

УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ…………….....…....112

2.1. Постановка задачи. Метод последовательных

приближений. Отделение корней…..………………….….....…112

Обусловленность задачи вычисления корня………..…115

2.2. Метод половинного деления. ..…..…………………………......118

Построение последовательности приближений.

Геометрический смысл метода половинного деления….118

Условия применимости и окончания итераций ……...…119

Алгоритм половинного деления …………………….…...121

2.3. Метод простой итерации. ….…….………………..……….….....123

Преобразование уравнения .………….…………………..123

Построение последовательности приближений.

Условия применимости и окончания итераций……....…124

Геометрический смысл метода простой итерации.……..127

2.4. Метод касательных. .…….………………………………….…...128

Построение последовательности приближений .……..…128

Условия применимости и окончания итераций ..…..…...129

Геометрический смысл метода касательных..…………..132

2.5. Метод хорд……...………………………….………………….….133

Построение последовательности приближений ………..133

Условия применимости и окончания итераций .…….…134

Геометрический смысл метода хорд………....……….....134

2.6. Комбинированный метод хорд и касательных. ….……….…....136

2.7. Метод Стеффенсена……………………………………………....138

2.8. Уточнение метода Ньютона для случая кратного корня.………139

Глава 3. Численные методы решения систем

УРАВНЕНИЙ…………………………………………………..……..143

3.1. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений……………….…………………...….146

3.2. Метод Гаусса……...…………………………………...……….…151

Постановка задачи решения линейной системы ….…….151

Метод Гаусса с выбором главных элементов

в столбцах .............................................................................152

Применение метода Гаусса для вычисления

определителей ……………………………………………..157

Применение метода Гаусса для вычисления

обратных матриц ..…………...……………………………160

3.3. Метод правой прогонки. ..…………..…………………………...163

Алгоритм решения линейной системы методом

правой прогонки ………….………………………………163

Условия применимости метода прогонки ..……….…….166

3.4. Метод простой итерации для линейных систем. ………....…....167

3.5. Решение систем нелинейных уравнений. ………………….......173

Получение итерационной формулы метода

касательных путем линеаризации уравнения .……..…...173

Скорость сходимости метода касательных ………...……174

Асимптотическое условие окончания итераций

для метода касательных ……………………….………...179

Метод Ньютона для нелинейных

систем уравнений ..………………………………………..180

Использование формул численного

дифференцирования………………………………………185

Локализация решения системы нелинейных

уравнений…………………………………………………..187

Глава 4. Многочленная интерполяция……………..190

4.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.……….………...…...190

Постановка задачи интерполирования .…………...…….190

Интерполяционный многочлен

в форме Лагранжа ..…………………………………….…193

Оценка погрешности интерполяции ..…………………...195

4.2. Разделенные разности. Интерполяционный

многочлен Ньютона….………………………………..……….…198

Разделенные разности и их свойства .……………….......198

Интерполяционная формула Ньютона ..…….…………...201

Алгоритм построения интерполяционного

многочлена Ньютона …………………….…………….…203

4.3. Кратные узлы интерполяции. Интерполяционный

многочлен Эрмита. ….……………………………………………205

Кратные узлы интерполяции. Формулировка

задачи интерполяции с кратными узлами …….……..….205

Предел интерполяционного многочлена Ньютона

при слиянии узлов ……………………….………………..207

Интерполяционная формула Эрмита .……………..….…212

Оценка погрешности интерполяционного

многочлена Эрмита …………………….………………..216

4.4. Обратное интерполирование. Кусочно-многочленная

интерполяция. Интерполирование сплайнами ..........................217

Обратное интерполирование …..…………………….…..217

Кусочно-многочленная интерполяция …………..……...219

Интерполирование сплайнами ..………………….………221

4.5. Многочлены Чебышева. Чебышевские узлы

интерполяции …………………………………………….……..225

Многочлены Чебышева . …………….……………….….225

Чебышевские узлы интерполяции .………………….......228