Разностный метод

Рассмотрим краевую задачу для линейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка

, , (9.3.9)

, . (9.3.10)

Здесь  заданные вещественные постоянные,  заданные функции.

Решением (точным решением) этой краевой задачи называется функция , дважды дифференцируемая и непрерывная на отрезке, удовлетворяющая уравнению (9.3.9) и краевым условиям (9.3.10). Будем предполагать, что точное решение краевой задачи существует и единственно. Требуется найти приближенное решение этой задачи с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа.

Введем на отрезке равномерную сетку точекс шагомh. Приближенное решение краевой задачи будем искать в виде сеточной функции. Дифференциальное уравнение (9.3.9) должно выполняться во всех точках отрезка , в том числе и во всех узлах сетки:

. (9.3.11)

Используем формулу численного дифференцирования (6.1.23) для приближенного вычисления производной

.

Подставим это приближённое равенство в дифференциальное уравнение. В результате этого получим систему приближённых алгебраических равенств

, . (9.3.12)

Из краевых условий (9.3.10) определяются

, . (9.3.13)

Таким образом, мы получили систему приближенных линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами (9.3.12), (9.3.13) относительно неизвестных . Решив ее, получим приближенные значения неизвестных.

Описанный способ определения приближённого решения, получил название разностного метода. Обозначим приближённые значения каки запишем вычислительную схему для получения приближённого решения:

, . (9.3.14)

, . (9.3.15)

Подобные вычислительные схемы называются разностными, поскольку они получаются из дифференциальных уравнений путем замены производных разностными отношениями по формулам численного дифференцирования. Разностная схема (9.3.14), (9.3.15) представляет собой линейную систему с трехдиагональной матрицей. В самом деле, после элементарных преобразований система (9.3.14), (9.3.15) принимает вид

, (9.3.16)

, . (9.3.17)

. (9.3.18)

Подставим начальное краевое условие (9.3.16) в первое уравнение (9.3.17) (при ), а конечное краевое условие (9.3.18) в последнее уравнение (9.3.17) (при ). В результате наша линейная система примет вид, аналогичный системе уравнений (3.3.2):

, (9.3.19)

, , (9.3.20)

. (9.3.21)

Запишем ее в виде (3.3.2):

(9.3.22)

Здесь

(9.3.23)

Для решения системы (9.3.22) целесообразно использовать метод правой прогонки (см. параграф 3.2). Если , то все достаточные условия применимости метода прогонки будут выполнены. Решая систему (9.3.22) методом прогонки, получим приближенное решение краевой задачи на сетке.

Теорема 1. Если краевая задача (9.3.9), (9.3.10) имеет единственное решение , функцииидважды непрерывно дифференцируемы на отрезке,на отрезке, то найдется постояннаятакая, что.

Доказательство. В условиях теоремы точное решение краевой задачи должно иметь непрерывные производные третьего и четвертого порядка. В самом деле, функциядолжна иметь на отрезкепроизводную второго порядка (и первого, естественно, тоже), поскольку она удовлетворяет дифференциальному уравнению (9.3.9), причем эти производные должны быть непрерывны на отрезке. Продифференцируем два раза равенство (9.3.9) и выразим из получившихся равенств и :

,

.

В правых частях этих равенств стоят функции определенные и непрерывные на отрезке . Следовательно,итакже определены и непрерывны на. Отсюда, в свою очередь, следует ограниченностьна отрезке, то есть должна существовать постояннаятакая, что

на отрезке . (9.3.24)

Оценивая погрешность примененной нами формулы численного дифференцирования в примере 3 параграфа 6.2, мы получили формулу

,

где и некоторые точки, лежащие на отрезках исоответственно. Применяя эту формулу для функциии узлов, получаем

,

где и некоторые точки, лежащие на отрезках и, соответственно. Выражаем отсюда, подставляем в формулу (9.3.11) и получаем

.

Умножим это равенство на :

.

Обозначим , вычтем из последнего равенства равенство (9.3.17) и с учетом введенного обозначения получим

,

. (9.3.25)

Из краевых условий (9.3.10) и (9.3.15) получим

, . (9.3.26)

Из (9.3.25) следует

.

Здесь учтено, что .

Обозначим через , а номер узла, в котором этот максимум достигается: . Тогда из последнего неравенства приполучим

.

Выразим отсюда М:

,

что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что наша разностная схема будет иметь, по крайней мере, второй порядок точности и для получения приближенного сеточного решения краевой задачи с заданной точностьюможно применять правило Рунге и метод повторного счета.