Методы прогноза и коррекции

Методы прогноза и коррекции появились как попытка соединить простоту применения явных и хорошие качества неявных вычислительных схем. Они имеют несколько разных названий, таких как «методы предсказания и уточнения», или «предиктор-корректорные методы». Суть этих методов состоит в совместном применении явных и неявных вычислительных схем, одинаковых или смежных порядков точности. Вначале с помощью явной схемы (9.1.29) вычисляется первое грубое приближение , для:

. (9.1.48)

А затем это грубое приближение подставляется в правую часть неявной формулы (9.1.30), и по ней находится окончательное (скорректированное) приближенное значение , для:

. (9.1.49)

Такую подстановку можно интерпретировать как применение метода простой итерации для вычисления приближенного решения уравнения (9.1.30) относительно . В качестве начального приближения в данном случае используется, а по формуле (9.1.49) вычисляется первый член последовательности приближений. Для повышения точности приближенияиногда применяют формулу (9.1.49) несколько раз. Например, вместо формулы (9.1.49) можно записать пару формул итерационного уточнения

(9.1.50)

Но если делать много итераций, то количество вычислений возрастет настолько, что преимущества использования неявной схемы будут утеряны. Поэтому чаще всего ограничиваются одной или двумя итерациями.

Описанная процедура привела к созданию новых явных вычислительных схем (9.1.48), (9.1.49) или (9.1.48), (9.1.50). Подобные вычислительные схемы получили название схем прогноза и коррекции.

Остановимся подробнее на схемах прогноза и коррекции, базирующихся на формулах Адамса-Башфорта, и Адамса-Моултона одинаковых порядков точности. Обозначим через начальное приближение, получаемое по явной формуле Адамса-Башфорта и запишемпредикторно-корректорные вычислительные формулы Адамса различных порядков точности.

Формулы первого порядка точности

, (9.1.51)

. (9.1.52)

Формулы второго порядка точности

(9.1.53)

. (9.1.54)

Формулы третьего порядка точности

, (9.1.55)

. (9.1.56)

Формулы четвертого порядка точности

. (9.1.57)

. (9.1.58)

Обычно многошаговые предикторно-корректорные вычислительные схемы Адамса имеют более высокую вычислительную эффективность (требуется производить меньше вычислений для получения результатов с заданной точностью), чем одношаговые вычислительные схемы Рунге-Кутта такого же порядка точности. Чаще всего на практике используют четырехшаговую предиктор-корректорную вычислительную схему Адамса, основанную на формулах (9.1.57), (9.1.58).

9.2. Решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем Задачи Коши для уравнения m-го порядка и для системы уравнений

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения m–го порядка. Она формулируется следующим образом. Требуется определить функцию , имеющую производнуюm–го порядка на отрезке , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

, (9.2.1)

и начальным условиям

(9.2.2)

Здесь  заданная функция m+1 переменной,  заданные постоянные.

Путём замены переменных эта задача сводится к задаче Коши для системы из m дифференциальных уравнений первого порядка. Введём m новых функций:

. Если функция является решением задачи Коши (9.2.1) (9.2.2), то введенные функции будут, очевидно, удовлетворять задаче Коши

, (9.2.3)

(9.2.4)

По этой причине мы не будем далее отдельно рассматривать задачу (9.2.1)  (9.2.2), а сразу рассмотрим более общую задачу Коши для системы из m дифференциальных уравнений первого порядка. Она сформулирована следующим образом. Требуется определить функции , дифференцируемые на отрезке, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений

(9.2.5)

и начальным условиям

(9.2.6)

Здесь  заданные функции m+1 переменной,  заданные постоянные.

Для сокращения записи подобные задачи часто записывают в векторной форме, поэтому введём обозначения:

заданный вектор-столбец,  искомая вектор-функция,  заданная вектор-функция.

Тогда ,и задачу Коши (9.2.5) (9.2.6) можно записать в векторной форме совсем коротко:

, , (9.2.7)

. (9.2.8)

В таком виде задача Коши для системы выглядит так же, как и задача Коши для одного уравнения (9.1.1).