6. Комбинированный метод хорд и касательных

Появление комбинированного метода хорд и касательных связано со следующими обстоятельствами.

Во-первых, условие окончания итераций, которое мы использовали для методов хорд и касательных не всегда удобно, поскольку найти постоянную иногда бывает не просто.

Во-вторых, условия применимости для метода хорд и метода касательных практически совпадают и эти методы удобно использовать совместно.

В-третьих, во всех четырех возможных случаях последовательности приближений, полученные по методу хорд и по методу касательных, сходятся кс разных сторон (сравните геомет-рический смысл методов хорди касательных). На рис. 2.11 изображены несколько первых членов последовательностейив первом случае, когда , на отрезке. Из рисунка видно, что последовательностьсходится кслева, а последовательность справа.

Третье обстоятельство позволяет заменить неудобное условие окончания итераций более удобным при совместном применении методов хорд и касательных. Так получается комбинированный метод хорд и касательных.

Поскольку последовательности приближений исходятся к точному значению корняс разных сторон, для любого значенияn наблюдается одно из двух неравенств (см. рис. 2.6.1):

, (2.6.1)

. (2.6.2)

Неравенство (2.6.1) выполняется в первом и втором случаях, а неравенство (2.6.2) – в третьем и четвертом. Во всех случаях выполняется неравенство

. (2.6.3)

В самом деле, неравенства (2.6.1), (2.6.2) означают, что во всех случаях принадлежит отрезку с концами в точкахи. Середина этого отрезка будет иметь координату. Длина отрезка . Таким образом, неравенство (2.6.3) отражает очевидный факт, что расстояние междуи серединой отрезка не превышает половины его длины (рис. 2.12).

И

Рис. 2.12

з неравенства (2.6.3) получаетсяусловие окончания итераций для комбинированного метода хорд и касательных. Если ,то и в качестве искомого приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей , можно выбрать .

Условия применимости комбинированного метода получаются путем объединения условий применимости метода касательных (для последовательности ) и метода хорд (для последовательности ).

Алгоритм вычисления искомого приближенного значения корня уравненияс погрешностью, не превышающей, комбинированным методом хорд и касательных достаточно прост. Согласно заданным значениям,,, по рекуррентным формулам

,

,

при вычисляются пары значений:;; … . Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие окончания итераций.

2.7. Метод Стеффенсена

Существуют различные модификации метода Ньютона, основным недостатком которого является необходимость вычисления производной . Модификации метода Ньютона основаны на замене производнойразностной схемой и отличаются друг от друга выбором шага. В итерационной схеме метода Стеффенсена за шаг принимают значение функции в точке, то есть. Итерационная формула метода Стеффенсена имеет вид

. (2.7)

Метод Стеффенсена одношаговый, то есть для вычисления приближения корня необходимо знать толькоприближение, не требует вычисления производной и сохраняет квадратичную сходимость при хорошем начальном приближении. Критерием окончания итерационного процесса считают

,

где заданная погрешность. За решение уравненияпринимаем последние вычисленное значение.

Модификации метода Ньютона могут терять устойчивость вблизи решения уравнения , что можно избежать заменив его на эквивалентное уравнение, где. Такая замена позволяет уменьшить наклон производной вблизи корня.