Геометрический смысл метода касательных Проведем к графику функциив точкекасательную до пересечения с осьюOх (рис. 2.7). Докажем, что абсцисса точки пересечения касательной .

Тангенс угла наклона касательной , с одной стороны, равен, а с другой, . Отсюда=.

Р

Рис. 2.8

ешив данное уравнение относительно, получим:, что и требовалось доказать. На рисунке 2.8 изображены несколько первых членов последовательности приближений, полученных с помощью касательных к графику функции.На пересечении с осью Ох первой касательной, проходящей через точку ,получается точка ,на пересечении с осью Ох второй касательной, проходящей через точку , точка и т. д.

На рис. 2.7, 2.8 изображен график функции в первом из четырех возможных случаев, когда,на отрезке. В этом случае функциядолжна быть возрастающей, выпуклость ее графика должна быть направлена вниз, а, как и показано на рисунках. Из рис. 2.8 видно, чтопоследовательность в случае, когда ,на отрезке ,должна сходиться к справа.

В остальных трех возможных случаях получаются аналогичные рисунки (изобразите их самостоятельно). В случае, когда ,на ,последовательность также будет сходиться к справа, а в остальных случаях ( когда ,наили,на )последовательность будет сходиться к слева.

5. Метод хорд Построение последовательности приближений

Метод хорд применяется для решения уравнения , но, как и метод касательных, является частным случаем метода простой итерации. Заменим уравнениеравносильным уравнением вида, выбирая в. Таким образом. Для решения уравненияпостроим последовательность приближений по методу простой итерации:

, (2.5)

Задавая каким-нибудь способом и, по рекуррентной формуле (2.5) приодин за другим вычисляем все члены последовательности. Так строится последовательность приближений в методе хорд. Название метода связано с его геометрическим смыслом.

Условия применимости и окончания итераций

Теорема 7. Пусть на отрезке существует единственный кореньуравнения, функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке ,ине обращаются в ноль на отрезке. Еслина, товыбирается равным, а. Еслина, товыбирается равныма(условия применимости метода).

Т

Рис. 2.9

огда последовательность, получаемая с помощью рекуррентной формулы (2.5.1) с выбранными значениямии, сходится к, то есть.

Пусть существует число . Если , то в качестве искомого приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей , можно выбрать (условие окончания итераций).

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 6.

Геометрический смысл метода хорд

Проведем к графику функции хорду, соединяющую точки и(рис. 2.9). Докажем, чтокоордината точки пересечения хорды с осью абсцисс . Для этого найдем тангенс углаиз двух прямоугольных треугольников с угломпри вершине:

.

Решив данное уравнение относительно , получим

, что и требовалось доказать.

Н

Рис. 2.10

а рис. 2.10 изображены несколько первых членов последовательности приближений, полученных с помощью хорд, проведенных к графику функции.На пересечении с осью Ох первой хорды, проходящей через точки и, получается точка, на пересечении с осьюОх второй хорды, проходящей через точки и, точка и т. д.

На рис. 2.9 и 2.10, изображен график функции в первом из четырех возможных случаев, когда,на отрезке. В этом случае функциядолжна быть возрастающей, выпуклость ее графика должна быть направлена вниз,, а, как и показано на рисунках. Из рис. 2.10 видно, чтопоследовательность в случае, когда,на отрезке, должна сходиться кслева.

В остальных трех возможных случаях получаются аналогичные рисунки (изобразите их самостоятельно). В случае, когда ,на, последовательностьтакже будет сходиться кслева, а в остальных случаях ( когда,наили,на) последовательностьбудет сходиться ксправа.