Построение последовательности приближений. Условия применимости и окончания итераций

Зададим произвольное число , содержащееся в области определения функциии построить последовательностьследующим образом:,, …,, … .Все члены этой последовательности можно получить по рекуррентной формуле

, (2.3.4)

При определенных условиях будет являться последовательностью приближений, т. е. она будет сходиться к корню уравнения (2.3.1).

Теорема 4. Если уравнение (2.3.1) имеет корни, функция является непрерывной и последовательностьимеет предел, то этот предел является корнем уравнения.

Доказательство. Пусть . Перейдем к пределу прив равенстве (2.3.4)., так как последовательностьполучается из последовательностипутем отбрасывания первого члена. Функциянепрерывна в точке. Отсюда. Запишем определение этого предела в терминах последовательностей (по Гейне). Оно имеет следующий вид. Для любой сходящейся кпоследовательности, все члены которой содержатся в области определения функции, выполняется равенство. Отсюда, согласно теореме о предельном переходе в равенствах, получаем. Следовательно, корень уравнения (2.3.1). Что и требовалось доказать.

Условия теоремы 4 проверить непросто. Поэтому мы сформулируем и докажем следующую теорему, в которой будут даны более простые для проверки условия применимости метода и условия окончания итераций.

Теорема 5. Пусть уравнение имеет единственный кореньна отрезке, причем этот корень лежит в средней трети отрезка– на отрезке(,,,, рис. 2.5). В качестве начального приближения выбирается середина отрезка

. (2.3.5)

П

Рис. 2.5

усть также функциядифференцируема наотрезке , причем для выполняется условие (условия применимости метода). Тогда последовательность , получаемая по рекуррентной формуле (2.3.4) с начальным условием (2.3.5), является последовательностью приближений, т. е..

Если , то в качестве искомого приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей , можно выбрать (условие окончания итераций).

Доказательство. Так как  корень уравнения (2.3.1), будет выполнено . Из (2.3.4) приполучим. Таким образом,. Для функциина отрезкевыполняются все условия теоремы Лагранжа, согласно которой найдется точка, лежащая между точкамиитакая, что. Отсюда

.

Следовательно, расстояние между точками ине превышает, и значит. Кроме того, поскольку, будет выполнено неравенство. Оно означает, чтобудет находится ближе к, чем.

Аналогично получим

. Здесь  некоторая точка, лежащая между точками и. Отсюда следует, чтои, то естьбудет находиться ближе к, чем.

Продолжим этот процесс, то есть будем последовательно рассматривать ,, …. Сравнивая полученные цепочки неравенств, при рассмотрениииможно предположить, что при рассмотрениимогут быть получены неравенства

<. (2.3.6)

Это индуктивное предположение, доказательство которого несложно провести методом математической индукции. Из формулы (2.3.6) следует, что очередной член последовательности будет принадлежать отрезку. А поскольку номерn может быть любым, все члены последовательности будут определены и принадлежат отрезку. Кроме того, из (2.3.6) непосредственно получаем

.

Перейдем в этом неравенстве к пределу при и согласно теореме о пределе промежуточной последовательности, получим

.

Из неравенства , согласно неравенства (2.3.6), очевидно, следует неравенство. Что и требовалось доказать.