Алгоритм половинного деления

Рассмотрим подробнее алгоритм приближенного решения уравнения методом половинного деления. Введем три переменных без индексов a, b, x, которые в цикле деления отрезка будут последовательно принимать значения: ;; и т. д. Начальные значения переменныхa и b представляют собой заданные координаты концов исходного отрезка, на котором локализован искомый корень решаемого уравнения. В цикле значения этих трех переменных должны соответствующим образом изменяться. На каждом шаге цикла , а для выбора соответствующей половины отрезка используем условие (почему здесь выбрано нестрогое неравенство увидим немного позже). Если это условие выполняется, то выбирать следует левую половину (), а если – нет, то правую (). Цикл выполняется, пока выполняется условие. По окончании работы цикла в качестве искомого приближенного значения корня следует выбрать. Запишем получившийся алгоритм на школьном алгоритмическом языке:

алг Метод половинного деления (арг вещ a,b,;рез вещ x)

нач

нц пока

если

то

иначе

кц

кон

Рис. 2.4

Мы построили и обосновали этот алгоритм для первого рассматриваемого случая, когда в процессе деления отрезков ни одна из точек не совпадет с. Но легко видеть, что и во втором случае, когда на каком-то этапе процесса деления очередное значениесовпадет с, наш алгоритм будет работать правильно без каких-либо изменений. Это достигается благодаря тому, чтов условии выбора соответствующей половины отрезка стоит нестрогое неравенство. В самом деле, пусть на очередном шаге деления отрезка очередное значение переменной х совпало с . Тогда, поскольку, будет выбрана левая половина отрезка (, рис. 2.4). На следующем шагеи будет выбрана правая половина отрезка (). На последующих шагах повторится та же ситуация и каждый раз будет выбираться правая половина отрезка, правый конец которой совпадает с. Таким образом, и во втором случае последовательностьбудет бесконечной и сходящейся к. Кроме того,также, как и в первом случае, будет принадлежать всем отрезкам. Поэтому будут справедливы условия окончания итераций и наш алгоритм будет нормально работать в первом и во втором случае. Интересно, что если нестрогое неравенство в условии выбора половины отрезка заменить строгим неравенством, то во втором случае модифицированный таким образом алгоритм правильно работать не будет. Проверьте это самостоятельно.

3. Метод простой итерации Преобразование уравнения

Метод простой итерации применяется для решения уравнений вида

. (2.3.1)

Если исходное уравнение записано в виде (2.1.1), то его необходимо преобразовать к виду (2.3.1) так, чтобы преобразованное уравнение было равносильно исходному (множества их решений совпадали). Это можно сделать многими разными способами. Рассмотрим один из них. Выберем

, (2.3.2)

где  произвольная функция, определенная и не обращающаяся в 0 на множестве действительных чисел R.

Докажем, что при таком выборе функции уравнение (2.3.1) будет равносильно уравнению (2.1.1). В самом деле, пусть корень уравнения (2.1.1), тогда и приуравнение (2.3.1) превращается в верное числовое равенство. Следовательно, корень уравнения (2.3.1). Пусть теперь  корень уравнения (2.3.1), тогда и, следовательно, верные равенства. Поскольку , должно выполняться равенство. Следовательно, корень уравнения (2.1.1). Таким образом каждый корень уравнения (2.1.1) является корнем уравнения (2.3.1) и наоборот. Равносильность этих уравнений установлена.

На практике в качестве часто выбирают функцию, гдес – некоторая отличная от нуля постоянная. Таким образом,

. (2.3.3)

При любом отличном от нуля значении с уравнение (2.3.1) с правой частью (2.3.3) будет равносильно уравнению (2.1.1). Поэтому подбирая значения ,с можно добиться, чтобы функция обладала еще какими-либо необходимыми дополнительными свойствами.