2. Метод половинного деления Построение последовательности приближений. Геометрический смысл метода половинного деления

Б

. . . .

Рис. 2.2

удем считать, что функциянепрерывна на отрезкеи уравнение (2.1.1) имеет на нем единственный корень(рис. 2.2). Последовательность приближенийбудем строить следующим образом. Разделим отрезокпополам точкойи выберем из двух половин,ту половину отрезка, на концах которой функцияимеет значения разных знаков. Обозначим эту половину (см. рис. 2.2).

Разделим отрезок пополам точкой и выберем из двух половин,ту половину отрезка, на концах которой функцияимеет значения разных знаков. Обозначим эту половину (рис. 2.2).

Разделим отрезок пополам точкой и выберем из двух половин,ту половину отрезка, на концах которой функцияимеет значения разных знаков. Обозначим эту половину (см. рис. 2.2) и т. д. Продолжая этот процесс, будем получать остальные члены последовательности . Из рисунка видно, что эта последовательность должна, по-видимому, сходиться к. Но это еще необходимо доказать.

Условия применимости и окончания итераций

При построении последовательности приближений возможны два случая:

1. В процессе деления отрезков ни одна из точек не совпадет с. Тогда получается бесконечная последовательность отрезков и их середин .

2. На каком-то этапе процесса деления очередное значение совпадет с. На этом процесс можно закончить и получить точное значение корня.

Рассмотрим в начале первый случай и установим условия, при которых последовательность действительно является последовательностью приближений и сходится к(условия применимости метода). Установим также условие, позволяющее получить член последовательности приближений, погрешность которого не превышает заданного положительного числа (условие окончания итераций). Все перечисленные условия приведены в теореме.

Теорема 3. Если на отрезке существует единственный кореньуравнения,и функциянепрерывна на отрезке(условия применимости метода), то последовательность, получаемая в процессе деления отрезка, является последовательностью приближений, т. е..

Если , то в качестве приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей, можно выбрать (условия окончания итераций).

Доказательство. Согласно теореме о прохождении непрерывной функции через ноль, на каждом отрезке будет существовать хотя бы один корень уравнения . А поскольку на отрезке существует единственный корень уравнения , а все отрезки содержатся в отрезке , этот корень должен принадлежать всем отрезкам (рис. 2.3). Зададим произвольный номер n. Напомним, что  середина . Из рис. 2.3 видно, что расстояние от точки до точкине превышает половины длины отрезка :

Рис 2.3

(2.2.1)

Рассмотрим правую часть этого неравенства и заметим, что ,, … ,, ….

Подставить полученное выражение для в неравенство (2.2.1) получим

. (2.2.2)

Перейдем в двойном неравенстве (2.2.2) к пределу при и воспользуемся теоремой о пределе промежуточной последовательности. Так как пределы левой и правой части двойного неравенства равны нулю, предел средней части также будет равен нулю (). Следовательно,, а также, очевидно,и.

Из формулы (2.2.1) следует, что если , тои в качестве приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей, можно выбрать . Теорема доказана.