Теорема 2. Если строго монотонна на отрезке, то на нем не может быть более одного корня уравнения (2.1.1).

Замечание. Если дифференцируема на отрезке и производная положительна или отрицательна на отрезке , то функция будет строго монотонной на отрезке .

Обусловленность задачи вычисления корня

Пусть — корень уравнения (2.1.1), подлежащий определению. Будем считать, что входными данными для задачи вычисления корня являются значения f(x) функции f в малой окрестности корня. Так как значения f(x) будут вычисляться на ЭВМ по некоторой программе, то в действительности задаваемые значения являются приближенными и их следует обозначать через . Приближенное значениеможет бытьсвязано с неизбежными ошибками округления и с использованием для вычисления значений функции приближенныхметодов. К сожалению, нельзя ожидать, что в окрестности корня относительная погрешность окажется малой.Реально рассчитывать можно лишь на то, что малой окажется абсолютная погрешность вычисления значений функции.

Будем предполагать, что в достаточно малой окрестности корня выполняется неравенство , где— границаабсолютной погрешности. Сама погрешность корня ведет себя крайне нерегулярно и в первом приближении может восприниматься пользователем как некоторая случайная величина.

Если функция f непрерывна, то найдется такая малая окрестность корня, имеющая радиус , в которой выполняетсянеравенство

. (2.1.3)

Для знак вычисленного значения, не обязан совпадать со знаком f(x) и, следовательно, становится невозможным определить, какое именно значение х из интервала обращает функцию f в нуль.

Будем называть этот интервал интервалом неопределенности корня . Найдем оценку величины . Пусть корень — простой. Для близких к значений х справедливо приближенное равенство

Поэтому неравенство (2.1.3) примет вид , откуда получаем

.

Следовательно,

. (2.1.4)

Здесь  абсолютное число обусловленности.

Для кратных корней формула (2.1.4) неверна. Пусть кратность корня равна m. Тогда в силу формулы Тейлора справедливо приближенное равенство

в правой части которого все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Следовательно, неравенство (2.1.3) имеет вид

.

Решая его, получаем аналогично (2.1.4) оценку радиуса интервала неопределенности

.

Эта оценка означает, что для корня кратности m радиус интервала неопределенности пропорционален , что свидетельствует о плохой обусловленности задачи вычисления кратных корней.

Отметим, что не может быть меньше величины— погрешности представления корняна ЭВМ.

В реальной ситуации оценить величину и даже порядок радиуса интервала неопределенности довольно сложно. Однако знать о его существовании необходимо по двум причинам. Во-первых, не имеет смысла ставить задачу о вычислении корня с точностью. В условиях неопределенности, вызванной приближенным заданием функции, любое значение может быть с одной и той же степенью достоверности принято за решение уравнения. Во-вторых, нельзя требовать от алгоритмов отыскания корня получения достоверных результатов после того, как очередное приближение попало в интервал неопределенности или оказалось очень близко от него; в этой ситуации вычисления следует прекратить и считать, что получен максимум действительно возможного.

Для большинства итерационных методов определить этот момент можно, поскольку, начиная с него, поведение приближений становится крайне нерегулярным. Если вдали от интервала неопределенности величина

(2.1.5) обычно бывает меньше единицы то появление при некотором n значения свидетельствует, скорее всего, о хаотическом поведении итерационной последовательности. В этой ситуации вычисления имеет смысл прервать, чтобы выяснить причину явления и принять правильное решение. Лучшим из полученных приближений к решению следует считать, конечно,. Использование для контроля вычислений величины (2.1.5) называют частоправилом Гарвика.