Для вычисления приоритетов разработан ряд методов, среди ко-

торых основными являются метод парных сравнений и метод сравнения относительно стандартов. Оба метода предполагают некото-

рую форму диалога с ЛПР или экспертом.

В целом построение модели выбора альтернатив на основе метода анализа иерархий включает следующие основные шаги:

1)анализ задачи и построение иерархии;

2)вычисление локальных приоритетов и проверка согласованности суждений;

3)синтез приоритетов альтернатив относительно главной цели и общая оценка согласованности иерархии.

4.Вычисление приоритетов методом парных сравнений

Пусть имеется иерархия H = L0 L1 ... LN . Выделим элемент

отношению к нему элементов. Соответствующий фрагмент иерархии показан на рис. 3. Здесь wi = wh (xi ) – приоритет элемента xi относи-

тельно h (i = 1, …, m).

Метод парных сравнений являет-

ся методом относительных измере-

ний, и его основная идея состоит в следующем. Элементы xi сравниваются попарно в отношении понятия

или свойства, выражаемого элементом h. В результате такого сравнения фор-

мируется матрица D =[dij ] порядка m,

называемая матрицей парных сравне-

ний, где dij – оценка степени превос-

ходства элемента xi над элементом xj относительно h. Значения приоритетов wi = wh (xi ) вычисляются с помощью специальной процеду-

ры обработки матрицы D – эта процедура будет рассмотрена далее. Значения оценок dij обычно определяются в диалоге с ЛПР или

экспертом, которому последовательно предъявляются все возможные пары {xi, xj}, и для каждой из них задается вопрос о том, какой из элементов в этой паре имеет преимущество над другим относительно h, и в какой степени проявляется данное преимущество.

Частным случаем условия (5) является равенство dii = 1, которое выражает естественное условие отсутствия какого-либо превосходства при сравнении элемента с самим собой.

Сучетом (5), число суждений, выносимых экспертом или ЛПР

впроцессе парных сравнений, равно m(m −1)2.

Примечание 1. Словесное описание характеристик в табл. 1 следует рассматривать как возможную помощь лицу, выполняющему сравнения, при вынесении суждений. Иными словами, данное описание не является безусловным и может корректироваться и изменяться в зависимости от природы сравниваемых объектов и иных особенностей задачи. Важен лишь тот факт, что оценки степени превосходства должны находиться в пределах от 1 до 9.

Примечание 2. В случае, если h является количественно выраженной характеристикой (время, стоимость и др.), и имеется возможность точного измерения ее значений, то в качестве оценок dij, вместо элементов приведенной шкалы, допускается использовать отношения этих значений, т.е. dij = h(xi )h(xj ) .

Однако, следует иметь в виду, что такой подход допустим только в том случае, когда характеристика h измеряется в шкале отношений, и предпочтения ЛПР по соответствующему критерию линейны относительно оценок по нему (что соответствует ситуации, когда увеличение значения характеристики h для некоторой альтернативы в k раз должно приводить к увеличению приоритета данной альтернативы относительно этой характеристики также в k раз). Во многих же практических ситуациях наблюдается нелинейность предпочтений (например, если величина возможной прибыли от реализации проекта находится в пределах от 1 до 3 тыс. денежных единиц, то выносимая ЛПР оценка степени привлекательности проекта с прибылью 3 тыс. может превосходить такую оценку, выносимую для проекта с прибылью 1 тыс., значительно более, чем в 3 раза.

Предложено несколько методов вычисления приоритетов на основе матрицы парных сравнений, наиболее математически обосно-

ванным из которых является метод собственного вектора.

Матрица парных сравнений D называется сверхтранзитивной, если выполняется условие:

В этом случае элементы dij матрицы можно рассматривать как отношения приоритетов сравниваемых объектов, т.е.

Соответственно, значения приоритетов wi могут быть вычислены по формуле:

Более того, можно показать, что сверхтранзитивная матрица парных сравнений имеет единственное собственное значение, равное своей размерности, т.е. m, и значения приоритетов (7) образуют вектор, равный собственному вектору этой матрицы с собственным значением m. Иными словами, справедливо равенство:

DW = mW, (8)

где W – вектор приоритетов элементов xi, т.е.

w1 W = w2 .

wm

В рамках МАИ считается, что сверхтранзитивность матрицы D соответствует безупречно проведенной процедуре парных сравнений (считается, что в этом случае суждения эксперта полностью согласованы; в частности, это условие гарантированно выполняется в ситуации, описанной в примечании 2). Вместе с тем, на практике, при сравнении между собой трех и более объектов данное условие, как правило, не выполняется. В этом случае матрица D имеет несколько собственных чисел, но вследствие обратной симметричности данной матрицы, при небольших отклонениях согласованности суждений одно из ее собственных чисел является вещественным и значительно превосходящим по абсолютной величине остальные. Более того, для него справедливо неравенство λmax ≥ m.

В рассмотренной ситуации вектор приоритетов определяется как собственный вектор матрицы D, соответствующий ее максимальному собственному числу λmax:

Найденный собственный вектор нормализуется с применением правила (3) или (4) – правило выбирается в зависимости от природы сравниваемых объектов (для более подробной информации см. комментарии к этим правилам).

После построения и обработки матрицы парных сравнений це-

лесообразно выполнить проверку согласованности суждений.

Нетрудно убедиться, что данная матрица удовлетворяет условию (5), т.е. является обратно-симметричной, но условие (6) для нее не выполняется, т.е. сверхтранзитивность отсутствует. С помощью необходимых вычислений можно установить, что среди собственных чисел матрицы имеется лишь одно вещественное, а именно λ = 3,032. Вычисляя соответствующий ему собственный вектор и приравнивая сумму его компонентов к 1 (обеспечивая тем самым его нормализацию), получаем следующие значения приоритетов: w1 = 0,263;

w2 = 0,659; w3 = 0,078.

Отношение согласованности для данной матрицы будет равным

CR = 0,581 3,0322 −3 = 0,028 ,

что не превышает предельной для данного случая величины 0,05, и таким образом матрицу D можно считать согласованной.

Существует несколько методов, позволяющих получить приближенные оценки приоритетов.

Метод последовательного возведения в степень носит итераци-

онный характер. На каждой итерации очередное приближение собственного вектора матрицы D вычисляется по формуле:

где e – единичный вектор размерности m:

1 e = 1 ,1

k – итерации. Иными словами, на k-й итерации матрица D возводится в степень k, после чего для вычисления wi находится сумма элементов i-й строки, которая затем делится на сумму всех элементов матрицы. Вычисленные значения сравниваются со значениями, полученными на предыдущей итерации, при возведении матрицы в степень k – 1. Процесс заканчивается, если норма вектора разностей между значениями не превышает заданной величины ошибки. Искомый вектор приоритетов определяется путем нормализации элементов полученного собственного вектора по правилам (3) или (4). Максимальное собственное значение вычисляется по формуле