Методы принятия решений - лекции, расчёты и ЛР / lab 5
.pdf
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
1 |
Построение решающих правил для ЗПР в условиях природной неопределенности
Цель работы – получение практических навыков моделирования ЗПР в условиях природной неопределенности для случаев с известными и неизвестными вероятностями наступления состояний внешней среды.
Задачи для самостоятельного решения
1.Построение решающих правил на основе вероятностных моделей
Сформировать таблицу решений и построить модель выбора наиболее предпочтительной альтернативы, используя следующие решающие правила:
критерий вероятностной гарантии (для заданных пороговых оценок исхода t0);
критерий наибольшего вероятностно-гарантированного результата (для заданных пороговых значений вероятности P0); критерий «среднее-разброс»; критерий ожидаемой полезности (при этом построить график
функции полезности и указать тип отношения ЛПР к риску).
1.1. Спрос на ежедневную газету представляет собой случайную величину со следующим законом распределения (см. табл.)
Спрос, экз. |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
Вероятность |
0,06 |
0,09 |
0,11 |
0,14 |
0,17 |
0,15 |
0,13 |
0,10 |
0,05 |
Владелец киоска в начале дня имеет возможность сделать запас газет на уровне 10, 20, 30, 40 или 50 экземпляров. Газета закупается по цене 7 денежных единиц (д.е.), а продается по цене 13 д.е. за экземпляр. Если запас превысит спрос, то непроданные газеты в конце дня сдаются по цене 3 д.е. за экземпляр.
Определить наиболее предпочтительную величину запаса газет с точки зрения максимизации прибыли.
t0 |
120; 130; 140 д.е. |
P0 |
0,5; 0,8 |
Функция полезности |
u( y) = 0,16ln (y + y2 + 200 ) |
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
2 |
1.2. Спрос на товар, производимый монополистом, определяется зависимостью q =100 −5x +5z , где x – цена товара, z – случайная ве-
личина со следующим законом распределения (см. табл.)
z |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
p(z) |
0,1 |
0,15 |
0,25 |
0,3 |
0,2 |
Затраты на производство товара определяются зависимостью c =5 +4q +0,05q2 . Имеется возможность продавать товар по цене 14,
15, 16 или 17 денежных единиц (д.е.). Рассмотреть задачу выбора цены товара с точки зрения максимизации прибыли.
t0 |
320; 350; 390 д.е. |
P0 |
0,5; 0,6 |
Функция полезности |
u( y) =(0,01y −2)2 |
1.3. Предприятие производит железобетонные панели, используя в качестве основного сырья цемент. Потребность в сырье в течение месяца описывается следующим вероятностным распределением (цемент поставляется в мешках).
Потребность, |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
4,5 |
5 |
|
тыс. мешков |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вероятность |
0,04 |
0,05 |
0,11 |
0,12 |
0,16 |
0,27 |
0,15 |
0,07 |
0,03 |
Удельная прибыль от производства панелей в пересчете на объем использованного сырья составляет 10 денежных единиц (д.е.) на единицу (один мешок) сырья. Затраты на хранение единицы неиспользованного сырья составляют 5 д.е., а издержки дефицитности (потери, связанные с отсутствием необходимого количества цемента на складе) равны 3 д.е. за каждую недостающую единицу.
Определить наиболее предпочтительный запас цемента на месяц с точки зрения максимизации прибыли при условии, что цемент может закупаться партиями по 1000 мешков.
t0 |
20; 23; 25 тыс. д.е. |
P0 |
0,5; 0,7 |
Функция полезности |
u( y) = 24 ln( y +11) , |
где y – прибыль, выраженная в тыс. д.е. |
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
3 |
1.4. Производственное предприятие получает некоторый вид комплектующих от трех поставщиков. Процент брака для каждого поставщика описывается вероятностным распределением (см. табл.)
Процент |
|
Вероятность |
|
брака |
Поставщик 1 |
Поставщик 2 |
Поставщик 3 |
1 |
0,7 |
0,4 |
0,18 |
2 |
0,1 |
0,3 |
0,28 |
3 |
0,09 |
0,15 |
0,4 |
4 |
0,07 |
0,1 |
0,12 |
5 |
0,04 |
0,05 |
0,02 |
Затраты связанные с ремонтом одного бракованного изделия, составляют 12 денежных единиц (д.е.).
Поставка осуществляется партиями по 1000 единиц. Рассмотреть задачу выбора поставщика с точки зрения минимизации затрат на ремонт, учитывая, что стоимость партии у второго поставщика на 80 д.е. ниже, чем у первого, а у третьего – на 20 д.е. ниже, чем у второго (соответственно, более низкая стоимость может частично компенсировать указанные выше затраты).
t0 |
–200; –150; –100 д.е. |
||
P0 |
0,8; 0,9 |
|
|
|
y |
3 |
|
Функция полезности |
u( y) = |
|
+1 , y < 0 |
|
|||
|
600 |
|
|
1.5. Производитель выпускает партии изделий, содержание брака в которых оценивается следующим вероятностным распределением (см. табл.)
Процент брака 0,8 % 0,9 % 1,0 % 1,1 % 1,2 % 1,3 % 1,4 % |
|||||||
Вероятность |
0,16 |
0,30 |
0,19 |
0,13 |
0,11 |
0,07 |
0,04 |
Затраты на производство партии составляют 1000 денежных единиц (д.е.)
Производитель связан контрактами с четырьмя потребителями. В каждом контракте оговорена цена поставки партии и максимально допустимый процент брака (см. табл.). При этом если процент брака превышает максимально допустимый, то производитель должен заплатить штраф в сумме 400 д.е. за каждый пункт процента превышения (один пункт соответствует 0,1 %). Предполагается, что партия до отправки потребителю не проверяется.
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
4 |
Потребитель |
A |
B |
C |
D |
Цена поставки, д.е. |
3500 |
3100 |
2700 |
2300 |
Процент брака |
0,8 % |
1,0 % |
1,2 % |
1,4 % |
Рассмотреть задачу максимизации прибыли и определить потребителя, который должен иметь наибольший приоритет при выполнении заказа.
t0 |
1300; 1500; 1800 д.е. |
P0 |
0,8; 0,9 |
Функция полезности |
u( y) =0,3ln(0,01y +1) |
1.6. Предприятие выпускает химический реактив, имеющий ограниченный срок годности. Если объем выпускаемой партии превышает имеющийся на нее спрос, то нереализованная часть партии подлежит уничтожению. В случае, если спрос превышает запланированный объем выпуска, то недостающая часть производится дополнительно, в сверхурочное время.
Еженедельный спрос на реактив описывается следующим вероятностным распределением (см. табл.)
Спрос, единиц |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
Вероятность |
0,08 |
0,12 |
0,20 |
0,35 |
0,25 |
Себестоимость единицы реактива при нормальном производстве равна 5 денежных единиц (д.е.), а при дополнительном (сверхурочном) производстве – 7 д.е. Реактив продается по 10 д.е. за единицу.
Определить наиболее предпочтительный объем выпускаемой партии с точки зрения максимизации прибыли.
t0 |
500; 600; 700 д.е. |
P0 |
0,6; 0,7 |
Функция полезности |
u( y) =0,25(0,01y +7,5)2 |
1.7. Отдел товаров кратковременного спроса в сети универмагов получил предложение о закупке партии искусственных новогодних елок. Поставщик готов поставить партию елок объемом 10, 20 или 30 тысяч штук, при этом закупочная цена зависит от объема партии и составляет соответственно 80, 75 и 70 денежных единиц (д.е.) за елку. Условия поставки таковы, что непроданную часть партии поставщик забирает назад, возвращая 80% ее закупочной цены. Планируемая розничная цена на елки составляет 150 д.е. за штуку.
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
5 |
Прогнозируемый спрос на елки описывается вероятностным распределением, которое зависит от затрат сети на рекламу (см. табл.)
Затраты |
|
Спрос, тыс. шт. |
|
||
на рекламу, |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
тыс. д.е. |
|
Вероятность спроса |
|
||
100 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,2 |
0,05 |
200 |
0,05 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,25 |
Определить наиболее предпочтительное сочетание объема закупаемой партии и затрат на рекламу с точки зрения максимизации прибыли. Какой рекламный бюджет более выгоден для каждого из трех возможных объемов закупки?
|
t0 |
600; 1300; 1400 тыс. д.е. |
|
|
P0 |
0,5; 0,8 |
|
|
Функция полезности |
u( y) =0,9 ln(0,01y2 +1) , |
|
|
где y – прибыль, выраженная в тыс. д.е. |
|
|
|
|
|
|
1.8. Автоматическая |
линия может производить до 5 изделий |
||
в сутки, при этом каждое изделие независимо от других оказывается годным с вероятностью 0,7. Каждое годное изделие приносит прибыль 20 денежных единиц (д.е.), каждое бракованное – убыток 10 д.е.
Выбрать наиболее предпочтительный режим работы линии (количество производимых изделий в сутки) с точки зрения максимизации прибыли.
t0 |
40; 50; 60 д.е. |
P0 |
0,6; 0,7 |
Функция полезности |
u( y) =(0,01y +1)3 |
Указание. Если общее число изделий равно s, то количество z бракованных изделий (z < s) описывается случайной величиной с биномиальным зако-
ном распределения P{z =t} =Cst (1− p)t ps−t , где p – вероятность годности одного
изделия, Cst = |
s! |
|
. |
|
t!(s −t)! |
||||
|
|
|||
1.9. Оптовый склад садовой техники должен заказать партию газонокосилок для наступающего сезона у внешнего поставщика. Согласно условиям поставок, объем партии должен быть кратным 100. Каждая газонокосилка, проданная в сезон, приносит 300 денежных единиц (д.е.) прибыли, каждая непроданная – убыток 200 д.е.
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
6 |
Спрос на газонокосилки в предстоящем сезоне оценивается следующим вероятностным распределением (см. табл.)
Спрос, единиц |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
Вероятность |
0,05 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,25 |
0,10 |
Определить наиболее предпочтительный объем заказываемой партии с точки зрения максимизации прибыли.
t0 |
90; 120; 130 тыс. д.е. |
||
P0 |
0,6; 0,7 |
|
|
|
y |
2 |
|
Функция полезности |
u( y) =0,3 |
|
+1 , |
|
|||
50 |
|
||
|
где y – прибыль, выраженная в тыс. д.е. |
||
1.10. Предприятие производит промышленный растворитель, имеющий ограниченный срок годности. Необходимое для производства сырье закупается с учетом планируемого объема выпускаемой партии. Цена продажи растворителя составляет 4 тыс. денежных единиц (д.е.) за тонну, расходы на сырье – 2 тыс. д.е. на тонну. Если объем выпускаемой партии превышает имеющийся на нее спрос, то нереализованная часть партии подлежит уничтожению. Если спрос превышает объем выпуска, то убытки по неудовлетворенному спросу составляют 1 тыс. д.е. за тонну.
Прогнозируемый спрос на |
Спрос, тонн |
10 |
15 |
20 |
25 |
очередную партию растворителя |
Вероятность |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,2 |
оценивается следующим вероятностным распределением (см. табл.) Определить наиболее предпочтительный объем выпускаемой
партии с точки зрения максимизации прибыли.
t0 |
20; 25; 30 тыс. д.е. |
||
P0 |
0,7; 0,8 |
|
|
|
y + 20 |
2 |
|
Функция полезности |
u( y) = |
|
, |
|
|||
7 |
|
||
|
где y – прибыль, выраженная в тыс. д.е. |
||
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
7 |
2.Построение решающих правил для задач в условиях «полной» неопределенности
Сформировать таблицу решений и построить модель выбора
наиболее предпочтительной альтернативы, используя следующие решающие правила:
а) критерий Вальда; б) критерий Гурвица (для двух значений γ > 0,5 и γ < 0,5);
в) принцип недостаточного обоснования; г) комбинацию критерия Гурвица и принципа недостаточного
обоснования; д) критерий Сэвиджа;
е) критерий Хоменюка.
2.1. Для проведения семинара организационный комитет планирует арендовать конференц-зал и одноместные номера в гостинице для размещения участников. Возможно арендовать 20, 30, 40 или 50 номеров. Стоимость аренды конференц-зала составляет 1000 денежных единиц (д.е.), стоимость аренды одного номера – 200 д.е., прочие расходы на организацию семинара составляют 7000 д.е., из которых 5000 д.е. будут возмещены в результате привлечения спонсоров. Оплата за проживание в гостинице составляет 600 д.е. с участника. Ожидается, что услугами гостиницы воспользуются от 10 до 50 чел.
Определить оптимальное число арендуемых номеров с точки зрения максимизации прибыли организационного комитета (число участников, проживающих в гостинице, варьировать с шагом 5).
2.2. Рассмотреть задачу 1.1 в предположении неизвестных веро-
ятностей спроса на газету. |
|
|
|
|
|||
2.3. Один из четырех станков должен быть |
|
|
|
||||
Номер |
Ki |
Di |
|||||
выбран для изготовления партии изделий, объем |
станка, i |
||||||
|
|
||||||
1 |
1000 |
5 |
|||||
z которой может находиться в пределах от 100 до |
|||||||
2 |
400 |
12 |
|||||
400 штук. |
Производственные затраты Ci |
для |
|||||
3 |
1500 |
3 |
|||||
станка с |
номером i |
составляют Ci = Ki |
+ zDi |
||||
4 |
900 |
8 |
|||||
(i = 1; 2; 3; 4), где Ki – |
фиксированные затраты, |
||||||
|
|
|
|||||
Di – удельные затраты на производство одного изделия (см. табл.) Рассмотреть задачу минимизации производственных затрат,
варьируя объем партии с шагом 50.
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
8 |
2.4.Рассмотреть задачу 1.6 в предположении неизвестных вероятностей спроса на реактив.
2.5.Для уборки овощей необходимо привлечь сезонных рабочих. Урожайность колеблется в пределах от 200 до 250 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 денежных единиц (д.е.) за 1 кг. Рабочий за сезон собирает 10 центнеров и получает 2 д.е./кг за уборку
и600 д.е. в качестве компенсации расходов на проезд к месту работы.
Затраты на обеспечение рабочих жильем составляют 5000 д.е. и не зависят от численности.
Определить оптимальное число привлекаемых рабочих с точки зрения максимизации прибыли.
2.6. Необходимо арендовать несколько станков на 1 месяц для производства партии однотипных изделий. Известно, что объем партии может находиться в пределах от 30 до 50 тыс. шт. Производительность одного станка равна 5 тыс. изделий в месяц, стоимость аренды – 3 тыс. денежных единиц (д.е.) Потери от недопроизводства 1 тыс. изделий составляют 1,4 тыс. д.е.
Определить оптимальное число арендуемых станков с точки зрения минимизации затрат.
2.7.Рассмотреть задачу 1.9 в предположении неизвестных вероятностей спроса на газонокосилки.
2.8.Рассмотреть задачу 1.3 в предположении неизвестных вероятностей требуемого количества сырья.
2.9.Рассмотреть задачу 1.10 в предположении неизвестных вероятностей спроса на растворитель.
2.10.Рассмотреть задачу 1.2 в предположении, что вероятности значений параметра z неизвестны.
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
9 |
Примеры решения задач
1.Построение решающих правил на основе вероятностных моделей
Издательство планирует тираж выпуска новой книги. Исследования отдела маркетинга показали, что предполагаемый спрос на данную книгу укрупнено может быть описан вероятностным распре-
делением, приведенным в табл. |
|
|
|
|
|
Также известно следующее: |
Спрос, тыс. экз. |
2 |
3 |
4 |
5 |
– тираж книги кратен тысяче |
Вероятность |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
экземпляров; |
|
|
|
|
|
–прибыль от продажи книги составляет 9 денежных единиц (д.е.) за экземпляр;
–если не все выпущенные книги проданы, то за каждый непроданный экземпляр издательство несет убытки в сумме 4 д.е.;
–если спрос на книгу превысил ее тираж, то издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, составляют 1 д.е. за каждый недостающий экземпляр.
А. Сформировать таблицу решений и определить наиболее предпочтительный тираж, используя:
1)критерий вероятностной гарантии для пороговых значений t0, равных 25, 27 и 28 тыс. д.е.;
2)критерий наибольшего вероятностно-гарантированного результата для пороговых значений P0, равных 0,4 и 0,5;
3)критерий «среднее-разброс».
Б. Дополнительно к условиям задачи, построены функции полезности, отражающие мнения финансового директора издательства (u1) и директора по маркетингу (u2).
u1 |
( y) = 4 y − |
|
y2 |
, |
u2 |
( y) = 0,8 |
|
y |
3 |
, |
|
100 |
10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где y – величина прибыли в тыс. д.е.
Для каждого из указанных лиц установить тип отношения к риску и определить наиболее предпочтительную альтернативу, используя критерий ожидаемой полезности.
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 5 |
10 |
Решение.
А1. В рассматриваемой ЗПР роль альтернатив играют величины тиража издаваемой книги, а роль состояний внешней среды – объемы спроса на нее. В соответствии с условием задачи, множество альтернатив и множество состояний внешней среды совпадают и имеют вид
X = Z ={2; 3; 4;5} (тыс. экз.) .
Исходы оцениваются по критерию |
xi |
|
|
zj |
|
|
прибыли от продажи книги. На основе |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
данных условия задачи, имеется следую- |
2 |
18 |
17 |
|
16 |
15 |
щая зависимость: |
3 |
14 |
27 |
|
26 |
25 |
9x −(z − x) =10x − z, x < z; |
4 |
10 |
23 |
|
36 |
35 |
y(x, z) = |
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
19 |
|
32 |
45 |
|
9z −4(x − z) =13z −4x, x ≥ z. |
|
|||||
pj |
0,1 |
0,5 |
|
0,2 |
0,2 |
|
С учетом данной зависимости, полу- |
|
|||||
чаем таблицу решений (величины прибыли приведены в тыс. д.е.).
А2. Вычислим значения критерия вероятностной гарантии
по формуле
H (xi ,t0 ) = P{y(xi ) ≥ t0} = ∑n |
δt (xi , z j ) pj , |
|||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
||
где |
|
1, y(x , z |
|
) ≥t |
; |
|||
|
|
j |
||||||
δt |
(xi , z j |
|
|
i |
|
0 |
|
|
) = |
0, |
y(x , z |
|
) <t . |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i |
|
j |
0 |
||
|
|
|
|
|
||||
При t0 = 25 имеем:
H(x1, 25) = 0;
H(x2, 25) = 0,5 + 0,2 + 0,2 = 0,9;
H(x3, 25) = 0,2 + 0,2 = 0,4; H(x4, 25) = 0,2 + 0,2 = 0,4.
Аналогично вычисляются значения данного критерия для t0 = 27 и t0 = 28 (см. табл.)
Таким образом, при t0 = 25 тыс. д.е. очевидное преимущество с точки зрения рассматриваемого критерия имеет альтернатива x2 (тираж 3 тыс. экз.). При повышении порогового значения прибыли до уровня t0 = 27 (что составляет примерно 5% ширины общего диапазона значений прибыли) преимущество x2 сохраняется, но уже не явля-