1. Общая характеристика метода

Помимо наглядности и хорошей интерпретируемости получаемых моделей, а также относительной простоты вычислений, можно отметить следующие дополнительные преимущества МАИ.

•Построение иерархии хорошо согласуется с принципами системного подхода и может оказать существенную помощь исследователю при анализе задачи – в частности, иерархизация помогает обеспечить отсутствие «пробелов» в модели, а также выявить ситуации, связанные с избыточностью ее компонентов, возможностью дублирования расчетов и др.;

•Метод предоставляет процедуры оценки и сравнения альтернатив по неизмеримым (выражающим качественные понятия), субъективным критериям. Эти же процедуры могут использоваться для формализации предпочтений на множестве критериальных оценок, измеренных в произвольной (в том числе номинальной или порядковой) шкале, а также для выявления степеней относительной важности критериев;

•Метод устойчив к небольшим нарушениям согласованности

(транзитивности) суждений ЛПР и экспертов.

МАИ ориентирован в первую очередь на построение моделей выбора на конечном множестве заранее известных альтернатив.

2. Формальное определение иерархии

Иерархию можно рассматривать как специальный тип частично упорядоченных множеств либо как частный случай графа. Эти интерпретации эквивалентны, однако первая из них более удобна в качестве основы формального определения иерархии, а вторая – в качестве графической иллюстрации.

Пусть H – конечное множество, на котором задано бинарное отношение R строгого частичного порядка. Напомним, что данное отношение по определению обладает следующими свойствами:

− транзитивностью:

x, y, z H (x, y) R ( y, z) R (x, z) R;

− асимметричностью: x, y H (x, y) R ( y, x) R ,

Отметим, что из асимметричности отношения R следует его ан-

x H (h0 , x) R , то h0 называется максимальным элементом H.

данного отношения, для любого элемента x H можно определить следующие два подмножества:

−множество элементов, покрываемых x: x− ={y H (x, y) C};

−множество элементов, покрывающих x: x+ ={z H (z, x) C}.

Множество H называется иерархией, если выполнены следующие условия.

1.H имеет максимальный элемент h0;

2.Существует разбиение H = L0 L1 ... LN , такое что:

а) L0 ={h0};

Множества Lk (k = 0, 1, …, N) называются уровнями иерархии, а элемент h0 – вершиной или фокусом иерархии. Уровень считается более высоким, если он имеет меньший номер. На рис. 1 приведен пример графического представления иерархии, содержащей четыре уровня.

Рис. 1. Пример четырехуровневой иерархии

Иерархия называется полной, если выполняется условие h Lk

полной не является, поскольку данное условие нарушается для элементов уровня L1.

Каждому элементу иерархии, за исключением элементов нижнего уровня, ставится в соответствие весовая функция wh:

Значение wh(x), где x h− , называется приоритетом или весом элемента x относительно h. Таким образом, с каждым элементом иерархии связывается набор приоритетов его непосредственных преемников. Например, в иерархии на рис. 1 элемент h13 характеризуется значениями приоритетов по отношению к нему элементов h23 и h24. При этом для элемента h23 задаются приоритеты как относительно h13, так и относительно h12.

Интерпретация приоритетов определяется содержательным смыслом соответствующей иерархической связи. В зависимости от интерпретации, на весовые функции могут накладываться дополнительные нормирующие условия, которые будут рассмотрены далее.

Во многих случаях оказывается более удобным рассматривать расширенную весовую функцию:

полагая wh (x) = 0 для x h− . В этом случае, например, для h12 (рис. 1)

w12 (h24 ) = 0 .

3. Принципы построения иерархической модели принятия решений

Введенная в п. 2 иерархия может рассматриваться как модель ЗПР, отражающая многоуровневую декомпозицию ее элементов с бóльшим обобщением на верхних уровнях и большей детализацией на нижних. Обычно фокус иерархии соответствует главной цели задачи, а каждый следующий уровень отражает способ формирования или принцип детализации элементов предыдущего уровня. Чаще всего встречаются следующие виды отношений между элементами двух соседних уровней иерархии:

•цель – подцели;

•цель – критерии оценки ее достижения;

•цель – средства достижения (действующие силы, влияющие на достижение);

•обобщенный критерий – частные критерии;

•критерий – объекты оценки (исходы или альтернативы);

•исход – альтернативы и др.

На нижнем уровне иерархии обычно находятся альтернативы. Универсальной процедуры построения иерархии не существует – конкретный вид иерархии определяется прежде всего взглядом

ЛПР или исследователя на проблему. В целом различают нисходящий (детализация) и восходящий (обобщение) пути построения, а также различные их комбинации.

В простейшем варианте многокритериальной ЗПР иерархия строится по следующей схеме: главная цель – критерии достижения – альтернативы.

Рассмотрим пример построения иерархии для следующей ЗПР. Пример. Требуется выбрать наиболее предпочтительную стратегию развития одной из отраслей машиностроения в некоторой

стране. Имеются три возможных сценария развития:

1)импорт соответствующей продукции (т.е. фактический отказ от развития отрасли в своей стране);

2)создание только сборочного производства;

3)развитие в своей стране полного цикла производства. Качество продукции при всех вариантах решения будет пример-

но одинаковым.

При принятии решения учитывается мнение следующих сторон:

•представители отрасли машиностроения: заинтересованы только в получении прибыли;

•представители отраслей-потребителей: заинтересованы в получении продукции машиностроения по достаточно низким ценам, а также в получении этой продукции в кратчайшие сроки;

•государственные органы: заинтересованы в налоговых поступлениях, а также в создании новых рабочих мест и низких це-

нах на продукцию.

Иерархическое представление задачи показано на рис. 2. Уровень L1, являющийся непосредственной детализацией главной цели, содержит действующие лица, т.е. заинтересованные стороны, мнение которых влияет на выбор той или иной альтернативы (сценария).

На уровне L2 находятся критерии, представляющие интерес для действующих лиц. Наконец, на нижнем, 3-м уровне представлены альтернативы, среди которых требуется выбрать наиболее предпочтительную (с учетом оценок по критериям, а также заинтересованности сторон в этих критериях).

Отметим, что каждый элемент 1-го уровня (действующее лицо) связан не со всеми элементами 2-го уровня (критериями), а только с теми, которые входят в область его интересов.

Рис. 2. Иерархическое представление задачи выбора сценария развития отрасли машиностроения

Моделью оценки интенсивности взаимодействия элементов иерархии является весовая функция. Как отмечалось в п. 2, эта функция задает приоритеты дочерних элементов по отношению к родительскому (такие приоритеты часто называют локальными), и интерпретация приоритетов зависит от содержательного смысла соответствующей иерархической связи. Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды интерпретации.

1.Пусть h – цель, а h− – множество критериев оценки ее достижения. В этом случае для некоторого x h− значение wh (x) интер-

претируется как степень относительной важности критерия

(вклад оцениваемого с его помощью свойства в общий уровень достижения цели). Подобная интерпретация будет иметь место и тогда, когда h является целью, а h− – набор подцелей, либо h – обобщенный критерий, а h− содержит критерии, детализирующие h, и т.п. При этом на весовую функцию накладывается нормирующее условие:

2.Пусть h – некоторый критерий, а h− – множество оцениваемых альтернатив или исходов. В этом случае значение приоритета wh (x) естественным образом интерпретируется как оценка объекта

xh− по критерию h. Вид нормирующего условия, которому должна удовлетворять весовая функция, зависит от содержательного смысла критериальной оценки:

а) если wh (x) рассматривается как степень относительного пре-

восходства x над остальными объектами, и уменьшение оценки любого другого объекта должно приводить к увеличению значения wh (x) , то следует использовать условие (3);

б) если wh (x) имеет смысл степени достижения альтернативой x

некоторого идеального (эталонного) уровня качества в отношении свойства, оцениваемого по критерию h, и уменьшение оценки любой другой альтернативы не приведет к увеличению wh (x) , то вводится условие:

где x* – альтернатива, являющаяся эталоном (в подобной ситуации она должна быть включена во множество альтернатив, подлежащих сравнению).

В случае 2а оценку wh (x) иногда называют относительным

приоритетом элемента x, а в случае 2б – абсолютным приоритетом.

В условиях рассматриваемого примера, локальные приоритеты элементов иерархии на рис. 2 можно охарактеризовать следующим образом.

•Приоритеты элементов первого уровня иерархии (Sk) относительно ее фокуса (главной цели), задают удельный вес мнения каждой из заинтересованных сторон (т.е. степень его влияния на выбор сценария);

•Приоритеты элементов Cj относительно Sk определяют степень заинтересованности субъекта Sk в обеспечении свойства, оцениваемого по критерию Cj (относительно других критериев, входящих в область его заинтересованности);

•Приоритеты элементов Xi, находящихся на нижнем уровне иерархии (альтернативных сценариев развития отрасли), от-

носительно критериев Cj соответствуют критериальным оценкам этих сценариев. В зависимости от условий задачи,

указанные приоритеты могут быть относительными либо абсолютными.

Сделаем несколько замечаний, связанных с использованием

врамках МАИ абсолютных и относительных приоритетов.

1.Абсолютные приоритеты могут вводиться только для оценки альтернатив или исходов – приоритеты элементов более высокого уровня (критериев, подцелей, действующих лиц) всегда относительные.

2.Тип приоритета должен быть единым для всех элементов иерархии, по которым оцениваются альтернативы (исходы). Иными словами, не допускается ситуация, когда по одному критерию оцениваются абсолютные приоритеты альтернатив, а по другому – относительные.

3.В связи с тем, что во многих реальных задачах получение и использование информации об эталонном уровне качества оцениваемых объектов не всегда возможно (в особенности это касается ситуаций, когда задача является принципиально новой, и у ЛПР нет опыта ее решения), относительные приоритеты используются чаще, чем абсолютные. Вместе с тем, использование относительных приоритетов может послужить причиной явления, называемого перестановкой рангов, которое заключается в том, что при добавлении в модель новых или, наоборот, удалении из нее существующих альтернатив, критериев или других элементов иерархии может измениться порядок предпочтений между сравниваемыми элементами. Пример такого явления будет рассмотрен в разд. 9.