30

4.1. Практическая работа № 4. Численное интегрирование

Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 6 часов практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и

автоматизированных систем» - 2 часа.

План занятий:

1.Актуализация понятий неопределенного, определенного, несобственных и кратных интегралов, сходимости несобственных интегралов, свойств определенных и несобственных интегралов.

2.Повторение квадратурных формул Ньютона-Котеса, Гаусса, оценок погрешностей и порядков точности квадратурных формул.

3.Повторение метода повторного счета (правила Рунге)

4.Повторение первой и второй схем метода Монте-Карло.

5.Повторение алгоритма вычисления приближенных значений первообразной, методов приближенного вычисления несобственных и кратных интегралов.

6.Решение примеров.

7.Консультирование студентов по выполнению домашней

работы.

Рассматриваемые примеры:

оценкой погрешности для формулы средних прямоугольников, подобрать число отрезков разбиения n и шаг интегрирования h так, чтобы абсолютная погрешность приближенного значения интеграла не превышала ε =10−3 .

Решение:

квадратуры.

Запишем оценку погрешности приближенного значения Q(h) :

31

M 2 = 2 .

Учитывая это, оценку погрешности можно записать в виде:

значения интеграла заданную точность. Решим это неравенство

a

превышающей заданного положительного числа ε . Значение m подбирается методом повторного счета с использованием асимптотической оценки погрешности по правилу Рунге. Записать алгоритм на алгоритмическом языке.

Решение:

Исходными данными для алгоритма являются значения a, b, ε и функция f (x) . Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле:

Здесь h = (b − a)2m − шаг интегрирования, xi = a + hi (i = 0,1, ,2m ) –

узлы квадратуры. В обозначении приближенного значения интеграла Q(m) подчеркнута зависимость его от параметра m. Подставляя значения узлов, получим:

32

Значение параметра m подбирается методом повторного счета так, чтобы абсолютная погрешность Q(m) не превышала ε . При этом используется асимптотическая оценка погрешности по правилу Рунге

Здесь k = 4 − порядок точности обобщенной формулы

Симпсона.

Метод повторного счета представляет собой цикл, в котором последовательно вычисляются значения Q(m) при m =1, 2, 4, 8, 16, На каждом шаге этого цикла, начиная со второго, проверяется условие достижения заданной точности:

Q( 2m) −Q( m) ≤ ε .

15

Как только это условие выполнится, цикл свою работу закончит и в качестве искомого приближенного значения интеграла выбирается последнее вычисленное значение Q(2m) .

На каждом шаге цикла используются только два приближенных значения интеграла. Поэтому мы введем две переменные Q1 и Q2 , которые в цикле должны принимать попарно следующие значения: Q1=Q(1) , Q2 =Q(2) ; Q1=Q(2) , Q2 =Q(4) ; Q1= Q(4) , Q2 =Q(8) и так далее. Заметим, что значение Q1 на всех шагах цикла, кроме первого, совпадает со значением Q2 на предыдущем шаге цикла. Поэтому в цикле мы будем вычислять только значение

постусловием, то для того, чтобы цикл мог начать работу, необходимо до цикла вычислить начальное значение:

Введем в алгоритмический язык цикл с постусловием, аналогичный циклу repeat в языке Паскаль

нц повторять

Команды, повторяемые в цикле кц пока не Условие окончания цикла.

Запишем алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью на алгоритмическом языке, используя введенную команду цикла с