9
10
11
12
f(x)= |
ì1- x, xÎ [0,π ], |
||||
í |
|
π ,0). |
|||
|
|
î1, xÎ [- |
|||
f(x)= |
ì1- x, xÎ [0,π ], |
||||
í |
- 2, |
xÎ |
[- π ,0). |
||
|
|
î |
|||
f(x)= |
ì1, |
xÎ |
[0,π |
], |
|
í |
- 1+ x, xÎ [- π ,0). |
||||
|
î |
||||
f(x)= |
ì |
- x+ 1, xÎ [0,π ], |
|||
í |
- 1+ x, xÎ [- π ,0). |
||||
|
î |
||||
54
21
22
23
24
f(x)= |
ì |
2+ x, |
xÎ [0,π ], |
||
í |
2, xÎ |
[- π |
,0). |
||
|
|
î |
|||
f(x)= |
ì |
2- x, xÎ [0,π ], |
|||
í |
2, xÎ |
[- π |
,0). |
||
|
|
î |
|||
f(x)= |
ì |
2, |
xÎ [ |
0,π |
], |
í |
- 2+ x, xÎ [- π ,0). |
||||
|
î |
||||
f(x)= |
ì |
- x+ 2, xÎ [0,π ], |
|||
í |
- 2+ x, xÎ [- π ,0). |
||||
|
î |
||||
Задание 4
Определить какое из двух, полученных при выполнении предыдущих заданий, приближений ϕ(x) или ψ( x) является лучшим?
Варианты для выполнения заданий 2 − 4 взять из табл. 2.2.
|
i |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
вар-та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
xi |
1.73 |
2.56 |
3.39 |
4.22 |
5.05 |
5.87 |
6.70 |
7.53 |
|
yi |
0.63 |
1.11 |
1.42 |
1.94 |
2.30 |
2.89 |
3.29 |
3.87 |
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 2 2 |
||
№ |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
вар-та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
xi |
-4.38 |
-3.84 |
-3.23 |
-2.76 |
-2.22 |
-1.67 |
-1.13 |
-0.60 |
|
yi |
2.25 |
2.83 |
3.44 |
4.31 |
5.29 |
6.55 |
8.01 |
10.04 |
3 |
xi |
1.00 |
1.64 |
2.28 |
2.91 |
3.56 |
4.19 |
4.84 |
5.48 |
|
yi |
0.28 |
0.19 |
0.15 |
0.11 |
0.09 |
0.08 |
0.07 |
0.06 |
4 |
xi |
1.20 |
1.57 |
1.94 |
2.31 |
2.68 |
3.05 |
3.42 |
3.79 |
|
yi |
2.59 |
2.06 |
1.58 |
1.25 |
0.91 |
0.66 |
0.38 |
0.21 |
5 |
xi |
1.01 |
1.74 |
2.38 |
3.02 |
3.66 |
4.30 |
4.94 |
5.18 |
|
yi |
1.73 |
2.98 |
3.53 |
3.89 |
4.01 |
4.25 |
4.32 |
4.38 |
6 |
xi |
1.74 |
2.32 |
2.90 |
3.48 |
4.06 |
4.64 |
5.22 |
5.80 |
|
yi |
0.66 |
0.45 |
0.36 |
0.33 |
0.30 |
0.29 |
0.28 |
0.27 |
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
|
|
|
55 |
|
|
|
|
1.92 |
2.84 |
3.76 |
4.68 |
5.60 |
6.52 |
7.44 |
8.36 |
1.48 |
2.69 |
4.07 |
5.67 |
7.42 |
9.35 |
11.36 |
13.54 |
1.28 |
1.76 |
2.24 |
2.72 |
3.20 |
3.68 |
4.16 |
4.64 |
2.10 |
2.62 |
3.21 |
3.98 |
4.98 |
6.06 |
7.47 |
9.25 |
0.68 |
1.13 |
1.58 |
2.03 |
2.48 |
2.93 |
3.38 |
3.83 |
-2.16 |
-1.69 |
-1.36 |
-1.12 |
-0.95 |
-0.75 |
-0.65 |
-0.52 |
2.4 |
2.91 |
3.42 |
3.93 |
4.44 |
4.95 |
5.46 |
5.97 |
4.03 |
3.10 |
2.44 |
1.96 |
1.58 |
1.29 |
1.04 |
0.85 |
-4.84 |
-4.30 |
-3.16 |
-3.22 |
-2.68 |
-2.14 |
-1.60 |
-1.06 |
-0.09 |
-0.11 |
-0.13 |
-0.16 |
-0.19 |
-0.26 |
-0.39 |
-0.81 |
1.16 |
1.88 |
2.60 |
3.32 |
4.04 |
4.76 |
5.48 |
6.20 |
0.18 |
0.26 |
0.32 |
0.36 |
0.40 |
0.43 |
0.46 |
0.48 |
1.73 |
2.56 |
3.39 |
4.22 |
5.05 |
5.87 |
6.70 |
7.53 |
-0.63 |
-1.11 |
-1.42 |
-1.94 |
-2.30 |
-2.89 |
-3.29 |
-3.87 |
4.38 |
3.84 |
3.23 |
2.76 |
2.22 |
1.67 |
1.13 |
0.60 |
2.25 |
2.83 |
3.44 |
4.31 |
5.29 |
6.55 |
8.01 |
10.04 |
1.00 |
1.64 |
2.28 |
2.91 |
3.56 |
4.19 |
4.84 |
5.48 |
-0.28 |
-0.19 |
-0.15 |
-0.11 |
-0.09 |
-0.08 |
-0.07 |
-0.06 |
-1.20 |
-1.57 |
-1.94 |
-2.31 |
-2.68 |
-3.05 |
-3.42 |
-3.79 |
2.59 |
2.06 |
1.58 |
1.25 |
0.91 |
0.66 |
0.38 |
0.21 |
1.01 |
1.74 |
2.38 |
3.02 |
3.66 |
4.30 |
4.94 |
5.18 |
-1.73 |
-2.98 |
-3.53 |
-3.89 |
-4.01 |
-4.25 |
-4.32 |
-4.38 |
-1.74 |
-2.32 |
-2.90 |
-3.48 |
-4.06 |
-4.64 |
-5.22 |
-5.80 |
0.66 |
0.45 |
0.36 |
0.33 |
0.30 |
0.29 |
0.28 |
0.27 |
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл 2.2 |
||
№ |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
вар-та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
xi |
1.92 |
2.84 |
3.76 |
4.68 |
5.60 |
6.52 |
7.44 |
8.36 |
|
yi |
-1.48 |
-2.69 |
-4.07 |
-5.67 |
-7.42 |
-9.35 |
-11.36 |
-13.54 |
20 |
xi |
-1.28 |
-1.76 |
-2.24 |
-2.72 |
-3.20 |
-3.68 |
-4.16 |
-4.64 |
|
yi |
2.10 |
2.62 |
3.21 |
3.98 |
4.98 |
6.06 |
7.47 |
9.25 |
21 |
xi |
-0.68 |
-1.13 |
-1.58 |
-2.03 |
-2.48 |
-2.93 |
-3.38 |
-3.83 |
|
yi |
-2.16 |
-1.69 |
-1.36 |
-1.12 |
-0.95 |
-0.75 |
-0.65 |
-0.52 |
22 |
xi |
2.4 |
2.91 |
3.42 |
3.93 |
4.44 |
4.95 |
5.46 |
5.97 |
|
yi |
-4.03 |
-3.10 |
-2.44 |
-1.96 |
-1.58 |
-1.29 |
-1.04 |
-0.85 |
23 |
xi |
-4.84 |
-4.30 |
-3.16 |
-3.22 |
-2.68 |
-2.14 |
-1.60 |
-1.06 |
|
yi |
0.09 |
0.11 |
0.13 |
0.16 |
0.19 |
0.26 |
0.39 |
0.81 |
24 |
xi |
-1.16 |
-1.88 |
-2.60 |
-3.32 |
-4.04 |
-4.76 |
-5.48 |
-6.20 |
|
yi |
0.18 |
0.26 |
0.32 |
0.36 |
0.40 |
0.43 |
0.46 |
0.48 |
56
6.3. Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга
Задание 1
Построить (используя, например, табличный процессор Excel) таблицы значений функции y(x) , а также ее первой производной (предварительно вычисленной аналитически) на сетке с узлами xi = ih (i =0,1, 2 , ,10 , h =1/10). В табличных значениях сохранять 10 знаков после десятичной запятой. Эти таблицы использовать при выполнении заданий 2, 3, 4.
Задание 2 |
|
|
|
||
Используя |
формулу |
численного |
дифференцирования |
||
y′( xi ) ≈ |
y( xi+1 ) − y( xi ) |
и построенную при выполнении предыдущего |
|||
h |
|||||
|
|
|
|
||
задания таблицу значений функции y(x) (с помощью, например, табличного процессора Excel), получить таблицу приближенных значений первой производной и абсолютной погрешности этих значений в точках xi = ih (i =0,1, 2 , ,9 , h =1/10).
Задание 3 |
|
||
Используя |
ту же формулу численного дифференцирования |
||
y′( xi ) ≈ |
y( xi+2 ) − y( xi ) |
, только с удвоенным шагом, и построенную при |
|
2h |
|||
|
|
||
выполнении первого задания таблицу значений функции y(x) (с помощью, например, табличного процессора Excel) получить таблицу приближенных значений первой производной и значений ее абсолютной погрешности в точках xi = ih (i = 0,2,4,6,8, h =1/10).
Задание 4
На основе таблиц приближенных значений первой производной, полученных при выполнении заданий 2 и 3, составить таблицу значений асимптотической оценки погрешности приближенного значения первой производной (см. метод Рунге-Ромберга), полученного в задании 2. Сопоставить значения асимптотической оценки погрешности и точные значения погрешности. Сделать выводы из этого сопоставления.
Варианты для заданий 1 – 4 взять из табл. 3.1.
Таблица 3.1
№ 
y(x) 
№ 
y(x) 
№ 
y(x) 
№ 
y(x)
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
||||
вар-та |
|
|
|
|
|
вар-та |
|
|
|
|
|
вар-та |
1 |
1 +sin |
x |
7 |
1 −sin |
x |
13 |
||||||
2 |
3 |
|
8 |
2 |
|
14 |
||||||
1 +e x |
2 −e x |
|||||||||||
3 |
ln(1 + x) |
9 |
ln(3 + x) |
15 |
||||||||
4 |
1 +4e−x |
10 |
3 −e−x |
16 |
||||||||
5 |
1 (x +4) |
11 |
1 (x +2) |
17 |
||||||||
6 |
|
|
|
12 |
|
|
|
18 |
||||
|
x +2 |
3 + x |
||||||||||
1 −sin 3x
1 −2e x ln(2 + x)
1 −2e−x
1
(x +3) 
x +4
вар-та 19
20
21
22
23
24
1 +sin 2x
2 +3e x ln(5 + x)
3 +2e−x
1
(x +5)
3 + x
6.4. Тема 4. Численное интегрирование
Задание 1
Вычислить |
приближенное |
значение |
b |
с |
òf (x)dx |
||||
|
|
|
a |
|
погрешностью, не превышающей ε =10−3 , двумя способами:
1.Методом Симпсона, подобрав предварительно шаг интегрирования h, исходя из оценки погрешности для формулы Симпсона. Для вычисления значения интеграла можно выбрать любую технологию.
2.Методом трапеций с автоматическим выбором шага по правилу Рунге. Для вычисления приближенного значения интеграла составить свою программу. Систему программирования можно выбрать любую. В программе должен быть реализован метод повторного счета и обобщенная формула трапеций. Программа должна выдать приближенное значение интеграла с заданной точностью ε . Текст программы и полученный результат записать в отчете.
Задание 2
Вычислить точное значение интеграла |
b |
и |
òf (x)dx |
||
|
a |
|
сопоставить его с полученными в предыдущих пунктах приближенными значениями. Найти точные значения погрешностей полученных приближенных значений интеграла (модули разностей между точным и приближенными значениями). Достигается ли заданная точность?
Варианты для выполнения заданий 1 − 2 взять из табл. 4.1.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
№ |
f (x) |
a |
b |
№ |
f (x) |
a |
b |