13
3. Дана функция y = f ( x) = xe−2x − ln x + sin 3x . x0 =1, x1 = 3. Строятся интерполяционный многочлен y = P1( x; x0 , x1 ) и многочлен Эрмита y = H 2 ( x; x0 , x0 , x1 ) , которые используются в качестве приближений этой функции. Найти оценки погрешности этих приближений в точке x = 2.
Решение:
Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа находится по формуле:
f (x) −P (x) ≤ M 2 1 2!
Здесь M 2 − верхняя граница
|
1 |
(x −x j ) |
= |
M 2 |
|
x −1 |
|
|
|
x −3 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
∏ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
j =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′ x |
) |
|
1;3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( |
|
|
на [ ]. |
|
||||||||||
Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита находится по формуле:
|
|
|
M |
|
1 |
k |
|
|
M 3 |
|
x −1 |
|
2 |
|
x −3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y(x) −H 2 ( x) |
|
≤ |
3 |
|
∏(x −xi ) |
i |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3! |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
M |
3 − верхняя граница |
|
|
( |
) на [ ]. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′ x |
|
1;3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Для дальнейших вычислений найдем постоянные |
|||||||||||||||||||
Для этого найдем производные функции: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
f ¢( x) = e−2x - 2xe−2x - |
1 |
+ 3cos3x , |
|
f ′′( x) = −4e−2x + 4xe−2x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f ′′′( x) = 12e−2x − 8xe−2x − |
− 27 cos 3x . |
|
Оценим |
|
модули |
||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
производных на [1;3]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f ′′( x) |
|
|
1 |
−9sin 3x |
|
≤ £ 4e−2x + 4xe−2x + |
1 |
+ 9 |
|
sin 3x |
|
£ |
|||||||||
|
|
= |
− 4e−2x + 4xe−2x + |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4e−2 + 4 ×3e−2 + 1 + 9 = =16e−2 |
+10 ≤14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 и M 3 .
+x12 − 9sin 3x ,
старших
Здесь использовано свойство модуля (модуль суммы не превышает
суммы модулей), а также |
|
то, что |
|
на [1;3] выполнено: |
|
x |
|
|
|
=x ≤3 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e−2x |
|
= e−2x £ e−2 £ |
1 , |
|
|
|
sin 3x |
|
≤1. Таким образом, M 2 =14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f ′′′( x) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−27 cos3x |
|
|
≤ £12e−2x + 8xe−2x + |
2 |
+ 27 |
|
cos3x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
12e−2x −8xe−2x − |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
£12e−2 + 8×3e−2 + 2 |
+ 27 = = 36e−2 |
+ 29 ≤ 38. Здесь использовано также то, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
cos 3x |
|
≤1. Таким образом, M 3 =38. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теперь вычислим искомые оценки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (2) − P (2) |
|
≤ |
14 |
|
2 -1 |
|
× |
|
2 -3 |
|
|
= 7 |
, |
|
f |
( |
2 |
) |
- H |
2 ( |
2 |
) |
|
£ |
38 |
|
2 -1 |
|
2 × |
|
2 -3 |
|
|
» 6,34 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Дана функция y = f ( x) , x [a ,b]. Отрезок [a , b] делится на n
14
равных |
частей |
точками |
xi = a + i × h, где h = |
b − a |
, i = 0,1, , n . |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Вычисляются значения |
этой |
функции yi = f ( xi ) , i =0,1, , n . По |
||||||||
полученной |
|
таблице |
|
значений |
функции |
|
строится |
|||
интерполяционный |
многочлен |
Лагранжа |
y = Pn ( x; x0 , x1 , , xn ) , |
|||||||
который используется для приближения функции y = f ( x) . |
||||||||||
Составить алгоритм для вычисления значения y |
||||||||||
интерполяционного многочлена |
y = Pn ( x; x0 , x1 , , xn ) |
по заданному |
||||||||
значению x. Записать его на алгоритмическом языке. |
|
|
||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные |
данные |
для |
алгоритма: |
функция |
f (x) , число |
|||||
отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b. Результат: значение многочлена Лагранжа y. В алгоритме используются два цикла. Внешний цикл – для вычисления суммы, а
внутренний – для |
вычисления произведения. |
Массив xi |
не |
вводится. Значения |
xi = a + ih непосредственно |
подставляются |
в |
формулы. |
|
|
|
алг Интерполяционный многочлен (арг вещ x, a, b; цел n; рез вещ y)
нач цел i, j; вещ p, h y:=0; h = b −n a
нц для i от 0 до n p:=f(a+ih)
нц для j от 0 до n если i ¹ j
|
то |
p := p |
x − (a + hj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(i - j) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
все |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y:=y+p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Дана функция y = f ( x) , x [a ;b]. Отрезок [a ,;b] |
делится на n |
||||||||||
равных |
частей |
|
точками |
xi = a +ih, где h = |
b − a |
, i = 0,1, , n . |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Вычисляются значения этой |
функции |
yi = f ( xi ) , i =0,1, , n . По |
|||||||||
полученной |
таблице |
значений |
функции |
|
строится |
||||||
интерполяционный |
сплайн. Составить |
алгоритм для |
вычисления |
||||||||
15
значения y интерполяционного сплайна по заданному значению x.
Решение:
Исходные данные для алгоритма: функция f (x) , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b.
Результат:
Значение интерполяционного сплайна y. Последовательность действий описана в теории. Запишем ее с учетом условия равномерности сетки точек xi , из которой следует, что xi = h .
1. |
h = |
b − a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
yi = f (a + hi) , |
i =0,1, , n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
yi = yi − yi−1 , |
i =1,2, , n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Решение следующей системы линейных алгебраических |
||||||||||||||||||||
уравнений с трехдиагональной матрицей: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c2 |
4 |
+ c3 |
1 |
= |
|
|
y2 |
- |
|
y1 |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|||||
|
|
|
ci−1 1 + ci |
4 + ci+1 |
1 |
= |
yi |
|
- |
|
|
yi−1 |
, |
|
i = 3,4, , n −1, |
||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn−1 |
1 |
+ cn |
4 |
= |
|
|
yn |
|
- |
|
yn−1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|||||
Эта система совпадет со стандартным видом системы, которая решалась методом прогонки, если n заменить на M, ci+1 (i =1,2, , n −1)
заменить на |
yi (i =1,2, , M −1) |
|
(не перепутайте их с величинами, |
||||
вычисляемыми в пункте 2 нашего алгоритма). При этом |
|||||||
Am = 1 , m = 2,3, , M -1, |
|
Bm = 1 |
, |
m =1,2, , M - 2, |
|||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Cm = − 4 , Fm = − |
ym+1 |
+ |
|
ym |
, m =1,2, , M −1. |
||
2 |
|
2 |
|||||
3 |
h |
h |
|
|
|||
Поэтому решать эту систему целесообразно методом прогонки.
В результате решения системы будут найдены величины ci
(i = 2,3, , n) .
5.c1 = 0 , cn+1 = 0 .
6. |
di = |
ci+1 − ci |
, i =1,2, , n . |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
3× h |
|
|
|
|
||
7. |
bi = |
yi |
- ci × h - di |
× h2 , i =1,2, , n . |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
||
8. |
ai = yi−1, i =1,2, , n . |
|
|
||||||
9. |
Вычисление |
номера отрезка, которому принадлежит |
|||||||
|
|
|
|
|
|
éx - aù |
|||
значение аргумента x: i = ê |
|
|
ú +1. |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ë h |
û |
||
10. Вычисление значения сплайна: |
|||||||||
y = ai + bi ( x − xi 1) + ci ( x − xi 1)2 |
+ di ( x − xi 1)3 . |
||||||||
|
|
|
|
− |
− |
|
− |
||
16
2.2. Практическая работа № 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение
Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 6 часов практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и
автоматизированных систем» − 3 часа.
План занятий:
1.Актуализация понятий тригонометрического ряда Фурье и его свойств, предгильбертова, нормированного и метрического пространства, аксиом скалярного произведения, нормы и метрики.
2.Повторение понятия ортогональности и ряда Фурье в гильбертовом пространстве, неравенства Бесселя и равенства Парсеваля.
3.Повторение формулы Родрига, многочленов Лежандра и разложения функции в ряд Фурье по системе ортогональных многочленов Лежандра.
4.Повторение общей схемы метода наименьших квадратов, полиномиальной и линейной аппроксимации.
5.Повторение способов линеаризации и их использования для поиска наилучших среднеквадратичных приближений в некоторых семействах нелинейных функций.
6.Повторение постановки задачи тригонометрической интерполяции, процедуры построения тригонометрического интерполяционного многочлена, понятия наилучшего равномерного приближения, теоремы Чебышева, способов построения наилучших равномерных приближений в семействах многочленов нулевого и первого порядка.
7.Решение примеров.
8.Консультирование студентов по выполнению домашней
работы.
Рассматриваемые примеры:
1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию