Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный технический университет

Предмет:

Численные методы

Файл:

Численные методы (пособие).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

965.85 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

				58
вар-та				вар-та
1	xe−x	0	1	13	x2 sin x3			0	1
2	ln x	1	2	14	x × e( x−1)			0	1
3	x	0	1	15				0	1
	2x × cos x2
	2x × cos x2				x x 2 +1
4	x ×sin x	0	2	16	x2 ln x			1	2
5	2x × ex2	0	1	17	x × cos x			0	1
6	x × ln x	1	2	18				2	3
6	x × ln x	1	2	18	x x 2 -1			2	3
7	xe x	0	1	19	x3 sin x4			0	1
8	ln 2 x	1	2	20	x ×e( x+1)			0	1
9	x	0	1	21				0	1
	2x ×sin x 2
	2x ×sin x 2				x		x2 +2
10	x2 ×sin x	0	2	22	(x2 +1)ln x			1	2
11	2x2 ×ex3	0	1	23	x2 ×cos x			0	1
12	(x +1) × ln x	1	2	24				2	3
12	(x +1) × ln x	1	2	24	x	x2 +4		2	3

6.5. Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Задание 1

Дана задача Коши для одного дифференциального уравнения:

u′ = f ( x,u), x Î[a;b], u(a) =u.

1.Решить эту задачу аналитически (найти её точное решение).

2.Составить программу, в которой была бы реализована вычислительная схема Рунге-Кутта 4 порядка точности. Текст программы записать в отчете.

3.С помощью составленной программы найти приближённое решение задачи Коши при N=5, а потом при N=10. Найти значение погрешности второго приближённого решения (при N=10) в узлах первой, более редкой сетки (при N=5), сравнив его с точным решением. Найти приближённую асимптотическую оценку погрешности второго приближённого решения (при N=10) по правилу Рунге в узлах первой, более редкой сетки (при N=5) и сопоставить её с точными значениями погрешности в этих узлах. Насколько точна асимптотическая оценка погрешности приближенного решения?

Варианты для выполнения задания 1 приведены в табл. 5.1.

№				№			Таблица 5.1
	a				a
		b u	f (x, u)			b u	f (x, u)
вар-та		b u	f (x, u)	вар-та		b u	f (x, u)
вар-та				вар-та

1	0	2	-1		u2 × x
2	1	3	0		eu / x2
3	0	1	1		u ×e x

4	0	1	0	(u 2 +1)× x2
5	0	1	0
					1 -u 2	× x2
6				1
	0	2	0	3u 2 × (x2 +1)

№ a b u вар-та

70 1 -1

80 1 -3

90 1 -1

10 1 2 1

11 0 1 1

12 0 1 1

f (x, u)

	u 4 × x
	x 2u 2
	u 2 × e x
æ x ö2			+	u
ç		÷		x

è u ø

x +1 u 2

(x2 +1)

13 1 2 0

14	1	2	0

15	1	2	0

16 1 2 -13

17 1 2 1

18 0 2 1

1 +	u	æu ö2
1 +	x	+ç ÷
	x	è x ø

ux + 2x2 × e−u x


	æ u ö2		+		u
1 -ç		÷				x
	è x ø
æ u ö4		× x +		u
ç ÷				x
è x ø

ux + x2

− u + cos x

Окончание табл. 5.1.

№	a	b	u		f (x, u)
вар-та
19	1	2	1		1 +				u
									x
20		1.
	1		0	u	+ x × eu x
21		5		x						u
	1	2	1		x	3		+
										x
22							x3
	0	1	1
23							u 2

	0	1	1		u +e x
24	0	1	1	u −sin x

7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

7.1.Теоретические вопросы

Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция.

1.Как ставится задача интерполяции?

2.Получите формулу для вычисления интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.

3.Докажите теорему о погрешности интерполяции. Запишите оценку погрешности интерполяции.

4.Дайте определения разделенных разностей. Докажите их

свойства.

5.Получите интерполяционную формулу Ньютона. Опишите алгоритм вычисления интерполяционного многочлена Ньютона.

6.Кратные узлы интерполяции. Формулировка задачи интерполяции с кратными узлами.

7.Предел интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов.

8.Интерполяционная формула Эрмита. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита.

9.Что такое обратная интерполяция и где она применяется?

10.Для чего нужна кусочно-полиномиальная интерполяция? Как производится кусочно-линейная интерполяция?

11.Что такое сплайны? Чем вызвана необходимость сплайновой интерполяции? Опишите построение кубического интерполяционного сплайна.

12.Многочлены Чебышева.

13.Чебышевские узлы интерполяции.

Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.

1.Что представляют собой пространства L2 [a;b] и Rn [a; b]?

2.Что такое ортогональная системы функций и ряды Фурье

вевклидовом пространстве? Докажите, что наилучшее среднеквадратическое приближение функции в евклидовом пространстве представляет собой частичную сумму ряда Фурье. Запишите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Что такое замкнутая система функций?

3.Как выглядит тригонометрический ряд Фурье? Каковы условия поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье? Как ведут себя приближения в окрестности точки разрыва функции (явление Гиббса)?

4.Ортогональные многочлены Лежандра. Ряд Фурье по системе многочленов Лежандра.

5.Опишите общую схему метода наименьших квадратов.

6.Как строятся полиномиальная и линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов?

7.Как производится поиск наилучших приближений по методу наименьших квадратов в некоторых двухпараметрических

семействах нелинейных функций: y =	1	,	y = a	1	+ b , y =	x	, y = axb ,
	ax + b			x		ax + b

y= aebx , y =a lnx +b .

8.Формулировка задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами.

9.Решение задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами. Дискретное преобразование Фурье. Оценка погрешности тригонометрической интерполяции.

10.Наилучшее равномерное приближение.

Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.

1.Как получаются полиномиальные формулы численного дифференцирования?

2.Что такое порядок точности приближенной формулы? На что и как влияет величина порядка точности?

3.Получите оценки погрешности и определите порядки точности формул численного дифференцирования.

4.Опишите Метод Рунге-Ромберга. Получите первую и вторую формулу Рунге, а также асимптотическую оценку погрешности приближенной формулы. Как они используются? Что такое метод повторного счета (правило Рунге)? Приведите примеры.

5.Как влияют на погрешность формул численного дифференцирования неточно заданные табличные данные? В чем суть и причина возникновения разболтки?

Тема 4. Численное интегрирование.

1.Как ставится задача численного интегрирования? Что такое квадратурные формулы?

Как получаются квадратурные формулы Ньютона-Котеса?

2.Получите формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (простые и обобщенные). Каков их геометрический смысл?

3.Получите оценку погрешности формулы трапеций (простой и обобщенной).

4.Найдите порядок точности формулы трапеций (простой и обобщенной).

5.Запишите оценки погрешности и порядки точности обобщенных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона. Как используется эта информация для вычисления интеграла с заданной точностью?

6.Квадратурные формулы Гаусса.

7.Метод неопределенных коэффициентов.

8.Первая схема метода Монте-Карло.

9.Вторая схема метода Монте-Карло.

10.Табулирование первообразной.

11.Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами.

12.Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

13.Вычисление кратных интегралов. Кубатурные формулы.

Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

1.Как ставится задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка? Что такое точное

иприближенное сеточное решения задачи Коши? Что понимается под погрешностью приближенного решения?

2.Получите вычислительную схему Эйлера путём замены производной разностным отношением с помощью формулы численного дифференцирования.

3.Получите вычислительную схему Эйлера путём применения формул численного интегрирования.

4.Найдите оценку погрешности приближенного решения задачи Коши, полученного по схеме Эйлера.

5.Получите схему Рунге-Кутта второго порядка. Запишите общую схему метода Рунге-Кутта и схему четвертого порядка. Как применяется метод повторного счета?

6.Многошаговые методы. Методы Адамса.

7.Многошаговые методы. Методы прогноза и коррекции.

8.Как ставится задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем?

9.Что представляет собой приближенное сеточное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и его погрешность? Запишите схемы Эйлера и Рунге-Кутта для систем дифференциальных уравнений. Как оценивается погрешность приближенного решения?

10.Опишите баллистический метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

11.Опишите разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

7.2. Практические задания

Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция.

1. Дана таблица значений некоторой функции y = f ( x) :

x	-1		0	1	2
y	0		1	2	9
Построить	по	ней	интерполяционный		многочлен
y = P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 )		в форме Лагранжа.

2. Дана таблица значений некоторой функции y = f (x):

			64
x	-1		0	1	2
y	1		1	1	7
Построить	по	ней	интерполяционный		многочлен
y = P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 )		в форме Лагранжа.

3. Дана таблица значений некоторой функции y = f ( x) :

x	-1	0	1	2
y	0	1	2	9

Построить	по	ней	интерполяционный		многочлен
y = P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 )		в форме Ньютона.
4. Дана таблица значений некоторой функции y = f (x):
x		-1	0	1	2
y		1	1	1	7
Построить	по	ней	интерполяционный		многочлен
y = P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 )		в форме Лагранжа.
5. Дана таблица значений некоторой функции y = f ( x) :
x	-1		0	1	2
y	0		1	2	9
Провести обратную интерполяцию, то есть построить
интерполяционный многочлен Ньютона x = P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ) .
6. Дана таблица значений некоторой функции y = f (x):
x		-1	0	1	2
y		1	1	1	7

Провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона x = P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ) .

7. Дана функция y = f ( x) = e3x cos 2x + x3 . x0 =1, x1 = 2 , x2 = 3. Приближение для функции строится в виде некоторого интерполяционного многочлена Лагранжа y = P2 ( x; x0 , x1, x2 ) . Найти оценку погрешности этого приближения как функцию х.

8. f (x) = 7x10 +8x3 −3x2 + 2x −3, x0 = 0 < x1 < < x10 = 1

Записать интерполяционный многочлен Лагранжа десятого порядка P10 (x) построенный по таблице значений этой функции, в виде:

P10 (x) = a0 + a1x + + a10 x10 .

9. Дана таблица	значений	некоторой	функции y = f ( x) и её
производной:
x	-1	0	1
y	0	1	2
y′		0

Построить	по ней	интерполяционный		многочлен Эрмита
y = H3 ( x; x0 , x1 , x1 , x2 ) .
10. Дана таблица значений некоторой функции					y = f ( x)	и её
производных:
	x	-1	0		1
	y	3	2		3
	y′		0
	y′′		0
Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита.
11. Дана	функция	y = f ( x) = e3x cos 2x + x3 ,		x0 =1,	x1 = 2 ,	x2 = 3.

Приближение для функции строится в виде некоторого интерполяционного многочлена Лагранжа или Эрмита. Найти

оценку погрешности этого приближения на [1;3].
а)	функция	приближается	многочленом	Лагранжа
y = P1( x; x0 , x2 ) ;
б)	функция	приближается	многочленом	Лагранжа
y = P2 ( x; x0 , x1, x2 ) ;
в)	функция	приближается	многочленом	Эрмита
y = H2 ( x; x1, x1, x1 ) ;
г)	функция	приближается	многочленом	Эрмита

y = H2 ( x; x0 , x1, x1 ) .

1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) . Изобразить график периодическго (с периодом 2π ) продолжения

f (x)

функции f (x) . Установить к чему сходится ряд Фурье. Найти наилучшее среднеквадраническое приближение функции на [−π;π] в множестве тригонометрических многочленов 1-ой степени.

а) f(x)=		ì	2+ 3x, x [0;π ]			; б) f(x)=	ì	− 3, x [	0;π ]
а) f(x)=		í	2x- 3,	xÎ [- π ;0)		; б) f(x)=	í	x+ 3, xÎ	[- π	;0)	;
		î	2x- 3,	xÎ [- π ;0)			î	x+ 3, xÎ	[- π	;0)
в) f(x)=	ì	2− x, x [0;π ]
в) f(x)=	í	5, xÎ [-		π ;0)	.
	î	5, xÎ [-		π ;0)

2.Найти наилучшее среднеквадратичное приближение

функции f (x) , определенной		на	отрезке [−1;1], в	семействе
	2
многочленов вида åαk χk (x) .
а)	k =0	в)	f ( x) = ln(4 + x) .
а)	f ( x) = cos 2x ; б) f ( x) = e2x ;	в)	f ( x) = ln(4 + x) .
3.	Дана таблица значений	y j = f (x j ), ( j =1, 2 , , N )		некоторой

функции y = f ( x) . Значения эти имеют значительные погрешности. Методом наименьших квадратов строится наилучшее приближение ψ( x) в семействе нелинейных функций y =ψ( x; a,b) . Показать как строится это приближение. Определить меру близости между f и

y	, в смысле которой это приближение будет наилучшим.
~
	а) ψ(x; a, b) = a 1	+b ; б) ψ(x; a, b) =	x	; в) ψ(x; a, b) = aebx ;
	а) ψ(x; a, b) = a 1	+b ; б) ψ(x; a, b) =	ax +b	; в) ψ(x; a, b) = aebx ;
	x		ax +b
	г) ψ( x; a,b) = a ln x +b .
	4. Построено	два приближения		ϕ1( x) , ϕ2 ( x) в разных

семействах нелинейных или линейных функций методом наименьших квадратов. Как определить какое из них является лучшим?

Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.

1. Как организовать вычисление первой производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих первый порядок точности?

2.Как организовать вычисление первой производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих второй порядок точности?

3.Как организовать вычисление второй производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих второй порядок точности?

4.Найти порядок точности и оценку погрешности формулы

y′(x1) ≈	y(x1) − y(x0 )	при условии, что функция y(x)	имеет
	h

ограниченную производную второго порядка на [x0; x1].

5. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы

y′(x2 ) ≈	y(x0 ) − 4y(x1) + 3y(x2 )	при условии, что функция y(x)	имеет
	2h

ограниченную производную третьего порядка на [x0; x2 ].

6. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы

y′′(x0 ) ≈	y(x0 ) − 2y(x1) + y(x2 )		при условии, что функция y(x) имеет
	h	2

ограниченную производную третьего порядка на [x0; x2 ].

7. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы

y′′(x2 ) ≈	y(x0 ) − 2y(x1) + y(x2 )		при условии, что функция y(x) имеет
	h	2

ограниченную производную третьего порядка на [x0; x2 ].

8. Даны значения функции y(x) в точках xi = iH (i =0,1,2 ). На [x0; x2 ] существует ограниченная производная функции второго порядка y′′(x) . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке x2 используется формула:

y′(x2 ) ≈	y(x2 ) − y(x1)	=	y(x2 ) − y(x2 − H )	.
	H
			H
Найти асимптотическую оценку погрешности этого
приближенного значения.
9. Даны значения функции y(x)		в точках xi = iH (i =0,1, ,4). На

[x0; x4 ] существует ограниченная производная функции третьего

порядка y′′′(x) . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке x2 используется формула:

y′(x2 ) ≈	y(x3 ) − y(x1)	=	y(x2 + H ) − y(x2 − H )	.

	2H		2H
Найти асимптотическую оценку погрешности этого
приближенного значения.
10. Даны значения функции		y(x) в точках xi = iH (i =0,1,2 ). На

[x0; x2 ] существует ограниченная производная функции второго порядка y′′( x) . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке x0 используется формула:

	y′(x2 ) ≈	y(x2 ) − y(x2			− h)	.
			h

Вычисление по этой формуле производятся на разреженной
сетке с шагом h = 2H :	y(x2 ) − y(x2 − 2H )				y(x2 ) − y(x0 )
y′(x2 ) ≈				=			.

	2H					2H
Используя вторую формулу Рунге, уточнить полученное
приближенное значение производной.

11. Даны значения функции y(x) в точках xi = iH (i =0,1,2 ). На [x0; x2 ] существует ограниченная производная функции второго порядка y′′( x) . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке x0 используется формула:

		y′(x0 ) ≈	y(x0 + h) − y(x0 )			.

			h
Вычисление по этой формуле производятся на разреженной
сетке с шагом h = 2H :		y(x0 + 2H ) − y(x0 )			y(x2 ) − y(x0 )
y′(x0 ) ≈				=			.

		2H				2H
Используя вторую	формулу Рунге				уточнить полученное

приближенное значение производной.

Тема 4. Численное интегрирование.

1. Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков разбиения n такие, чтобы приближенное значение интеграла

ò f (x)dx , вычисляемое по обобщенной формуле средних

прямоугольников, имело погрешность, не превышающую ε =10−3 . а) f (x) =sin(x2 ) ; б) f ( x) =e 2 x ; в) f (x) =sin 2x −x .

2. Подобрать шаг		интегрирования h и число отрезков
разбиения	n такие, чтобы приближенное		значение интеграла
1	вычисляемое	по обобщенной	формуле левых
ò f (x)dx ,
0

прямоугольников, имело погрешность, не превышающую ε =10−3 .

а)		=	sin(x2 )	; б)		=		; в)	f (x) =sin 2x −x	.
	f (x)		sin(x2 )		f ( x)		e 2 x		f (x) =sin 2x −x
3.	Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков
разбиения		n	такие, чтобы				приближенное значение				интеграла
1
ò f (x)dx , вычисляемое по обобщенной формуле трапеций, имело
0
погрешность, не превышающую ε =10−3 .										.
а)		=		; б)		=		; в)	f (x) =sin 2x −x	.
	f (x)		sin(x2 )		f ( x)		e 2 x		f (x) =sin 2x −x
4.	Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков
разбиения		2m такие,			чтобы		приближенное значение				интеграла
1
ò f (x)dx , вычисляемое по обобщенной формуле Симпсона, имело
0
погрешность, не превышающую ε =10−3 .										.
а)		=		; б)		=		; в)	f (x) =sin 2x −x	.
	f (x)		sin(x2 )		f ( x)		e 2 x		f (x) =sin 2x −x

5. Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков разбиения n такие, чтобы приближенное значение интеграла

100000	обобщенной	формуле	трапеций,
ò(2x +3)dx , вычисляемое по
0
имело погрешность, не превышающую 10−10 .
6. Подобрать шаг интегрирования h и число отрезков
разбиения 2m такие, чтобы приближенное		значение	интеграла
100	обобщенной	формуле	Симпсона,
ò(x2 + 2x + 2)dx , вычисляемое по
1
имело погрешность, не превышающую ε =10−10 .
7. Записать формулу Гаусса с 3-мя узлами для вычисления
b	оценку абсолютной погрешности
интеграла I = ò f (x)dx и найти

вычисленного по этой формуле приближенного значения интеграла для случая, когда f (x) =1 +1 x , a = 0, b =1.

8. Записать формулу Гаусса с 4			узлами для	вычисления
интеграла	b	и найти оценку	абсолютной	погрешности
	I = ò f (x)dx

вычисленного по этой формуле приближенного значения интеграла для случая, когда f (x) =e−x , a = 0, b =1.

9. Подготовить все необходимое для вычисления приближеного значения несобственного интеграла I с погрешностью, не превышающей ε = 2 ×10−3 .

1		dx		1	2xdx
а) I = 0ò		(1+ x2 )	;	б) I = 0ò			.
						1− x2
	x

10.Подготовить все необходимое для вычисления

приближенного значения несобственного интеграла		I с
погрешностью, не превышающей ε = 2 ×10−3 .
∞cos xdx	∞ x2dx
а) I = 0ò (1 +x 2 );	б) I = 0ò(1+ x4 ).

Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

1. Решить аналитически задачу Коши:

а)

в)

ì	u	¢	=	e	x	u,	xÎ	[ ]	;
îí								0;1
	u(0) = 1
ìu′ =				cosx− u,				x	[0;1]
îíu(0)				= 1

ì	u	+	x	2	,	xÎ [1;2]
ïu¢ =	x	+	x		,	xÎ [1;2]	;
б) í	x						;
îïu(1)	= 1

2. Даны два приближенных решения задачи Коши, полученные с помощью схемы Рунге-Кутта 4 порядка точности.

Первое решение:

x= 0.0000000000E+00 u= 1.0000000000E+00 x= 5.0000000000E-01 u= 1.6484375000E+00 x= 1.0000000000E+00 u= 2.7173461914E+00

Второе решение:

x= 0.0000000000E+00 u= 1.0000000000E+00 x= 2.5000000000E-01 u= 1.2840169271E+00

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>