Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный технический университет

Предмет:

Численные методы

Файл:

Численные методы (пособие).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

965.85 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

y(x)

2.Актуализация формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

3.Повторение полиномиальных формул численного дифференцирования, понятия порядка точности, порядков точности отдельных формул.

4.Повторение оценки погрешности формулы численного дифференцирования при неточно заданных табличных данных, причин начальной стабилизации разрядов в записи приближенных значений производной и последующей разработки.

5.Повторение первой и второй формулы Рунге, асимптотической оценки погрешности, метода повторного счета (правила Рунге).

6.Решение примеров.

7.Консультирование студентов по выполнению домашней

работы.

Рассматриваемые примеры:

1. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы

y′(x0 ) ≈	− 3y(x0 ) + 4y(x1) − y(x2 )	при условии, что функция y(x)	имеет
	2h

ограниченную производную третьего порядка на [x0; x2 ].

Решение:

В условиях рассматриваемого примера функцию можно разложить на указанном промежутке по формуле Тейлора. Запишем это разложение с остаточным членом, записанным в форме Лагранжа и в форме Пеано:

y(x)

y(x )

y′(x )(x

x )

y′′(x )(x

x )2

y′′′(

)(x

−

− 0

−

y(x) = y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ) +

y′′(x0 )(x − x0 )2 + 1 y′′′(x0 )(x − x0 )3 +

+ o( x − x0 )3 при x → x0 .

Здесь точка ξ лежит между точками

x0 . Используем эти

разложения для вычисления

y(x1) и y(x2 ) :

y(x )

y(x

0 +

y(x )

y′(x )h

1 y′′(x )h2

1 y′′′(

)h3,

ξ1

y(x

)

y(x

2h)

y(x )

y′(x )2h

1 y′′(x )4h2

1 y′′′(

)8h3,

0 +

+ 6

ξ2

y(x1) = y(x0 + h) = y(x0 ) + y′(x0 )h +

1 y′′(x0 )h2 +

1 y′′′(x0 )h3 + o(h3 )

при h → 0 ,

y(x2 ) = y(x0 + 2h) = y(x0 ) + y′(x0 )2h +

1 y′′(x0 )4h2

+ 1 y′′′(x0 )8h3 + o(h3 )при h → 0 .

Здесь точка

лежит между точками

, а точка

2 лежит

y(x)

[x0; x2 ]

между точками x0 и x2 . Рассмотрим разность между точным и приближенным значением производной. Подставим в нее полученные выражения:

y′(x0 ) −

− 3y(x0 ) + 4y(x1) − y(x2 )

y′′′(x0 )h3

− o(h3 )− o(h3 )

= 1 y′′′(x0 )h2

+ o(h2 ) при h → 0 .

Таким

образом,

исследуемая

формула

численного

дифференцирования имеет второй порядок точности. Здесь использовано, что − o(h3 )− o(h3 ) = o(h3 ) при h → 0 , а также то, что

o(h3 ) = 1 o(h2 ) = o(h2 ) при h → 0 .

2h 2

Подставим в формулу для модуля разности между точным и приближенным значением производной полученные выражения

−3y(x

) + 4 y(x ) − y(x

)

2 y′′′(

)h3

4 y′′′(

)h3

y′(x0 ) −

−

ξ1

ξ2

≤

y′′′(

)

y′′′(

)

ξ1

+ 3

ξ2

≤

M3h2 .

Здесь M 3 − это положительная постоянная, такая, что

y(3) (x)

≤M 3 на

[x0; x2 ].

2. Даны значения функции в точках xi = iH (i =0,1,2 ). На существует ограниченная производная функции второго порядка y′′( x) . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке x0 используется формула

y′(x0 ) ≈	y(x1) − y(x0 )	=	y(x0 + H ) − y(x0 )	.

	H		H
Найти асимптотическую оценку погрешности этого
приближенного значения.
Решение:
Наша формула представляет собой приближенную формулу
вида z( x) ≈η( x; h). В самом деле, если положить x = x0 , z( x0 ) = y′( x0 ) ,

η( x0 ;h) =

y(x0 + h) − y(x0 )

, то формула

y′(x0 ) ≈

y(x1) − y(x0 )

y(x0 + H ) − y(x0 )

примет вид: z( x0 ) ≈ η( x0 ; H ) .

Формула

z( x0 ) ≈ η( x0 ;h) =

y(x0 + h) − y(x0 )

как

известно, имеет

порядок точности p =1.

Выберем

r =1 2 , h = 2H и

запишем

для

рассматриваемой

формулы асимптотическую оценку погрешности:

y′( x ) −

y( x0 + H ) − y( x0 )

z( x ) − η ( x ; H )

≈

η( x0 ; H ) -η( x0 ; 2 × H )

y( x0 + H ) - y( x0 )

y( x0 + 2H ) - y( x0 )

21 -1

y( x1) − y( x0 )

−

y( x2 ) − y( x0 )

− y( x0 ) + 2y( x1) − y( x2 )

3. Даны значения функции y(x)

в точках xi = iH (i =0,1,2 ). На

[x0; x2 ] существует ограниченная производная функции второго порядка y′′( x) . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке x0 используется формула:

	y¢(x0 ) »	y(x0 + h) − y(x0 )			.

		h
Вычисление по этой формуле производятся на разреженной
сетке с шагом h = 2H :	y(x0 + 2H ) − y(x0 )			y(x2 ) − y(x0 )
y¢(x0 ) »			=			.

	2H				2H

Используя метод Рунге-Ромберга, уточнить полученное приближенное значение производной.

Решение:

Как мы уже выяснили в предыдущем примере, наша формула представляет собой приближенную формулу вида z( x0 ) ≈ η( x0 ; H ) ,

если положить z( x0 ) = y′( x0 ) ,			η( x0	;h) =	y(x0 + h) − y(x0 )	, причем формула

	y(x0 + h) − y(x0 )				h
z( x0 ) » η( x0 ;h) =		,	как	известно, имеет порядок точности

	h

p =1.

Выберем r =12 , h = 2H и запишем для рассматриваемого приближенного значения производной η( x0;2H ) новое уточненное значениеη1( x0;2H ) , получаемое по второй формуле Рунге:

η1( x0 ;2H ) =η( x0 ;2H ) +η( x0 ; H ) −η( x0 ; 2H ) =

1- æ 1 ö1 ç ÷ è 2 ø

y(x0 + 2H ) - y(x0 )

y(x0 + H ) − y(x0 )

- y(x0 + 2H ) − y(x0 )

y(x2 ) - y(x0 )

y(x1) − y(x0 )

- y(x2 ) − y(x0 )

− 3y(x ) + 4y(x ) − y(x

)

= =

Итак, новое

приближенное значение

производной

η1( x0;2H ) ,

уточняющее старое приближенное значение η( x0;2H ) , фактически вычисляется по формуле, порядок точности которой на 1 больше, чем у исходной формулы.

3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Контрольные мероприятия по темам 1 − 3 «Многочленная,

кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригоно-метрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга».

Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 5 часов практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и

автоматизированных систем» − 3 часа.

План занятий:

1.Сдача отчетов по выполнению заданий домашней работы (темы 1-3) и собеседование с преподавателем.

2.Сдача зачетов по темам 1 − 3.

4. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ (4-5)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>