ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Брянский государственный технический университет
С. В. Трубников
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия
Брянск ИЗДАТЕЛЬСТВО БГТУ
2
2008
ББК
Трубников С.В. Численные методы: учебно-методическое пособие / С.В. Трубников. − Брянск: БГТУ, 2008. − 81с.
ISBN 5-89838-334-7
В пособии представлен тематический план элективного курса «Численные методы», а также планы практических занятий. Имеется большое количество примеров решения задач по численным методам. Описано содержание и форма проведения контрольных мероприятий. Пособие дополняет учебник Трубникова С.В. и Порошина Б.В. «Вычислительная математика», выпущенный издательством БГТУ в 2005 году и составляет вместе с ним единый учебно-методический комплекс.
Пособие предназначено для студентов БГТУ специальностей 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и 010503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Оно может быть полезно всем студентам вузов, изучающих вычислительную математику, преподавателям и аспирантам, ведущим аналогичные учебные курсы и другим заинтересованным лицам.
Научный редактор Рецензенты: кандидат физико-математических наук,
доцент Холодовский В.Е.
кандидат физико-математических наук, доцент Макаров В.Ю.
ISBN 5-89838-334-7 |
© Брянский государственный |
|
технический университет, 2008 |
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………….. |
4 |
1. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА……………………………… |
7 |
1.1.Тематический план лекционного курса……………..... 7
1.2.Планы практических занятий………………………….. 8
2.ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ (1-3)……………………………... 9
2.1.Практическая работа № 1. Многочленная,
кусочно-многочленная, сплайновая |
|
и обратная интерполяция …………………………………… |
9 |
2.2. Практическая работа № 2. Наилучшее |
|
среднеквадратическое приближение. |
|
Тригонометрическая интерполяция. |
|
Наилучшее равномерное приближение …………………… |
17 |
2.3. Практическая работа № 3. Численное |
|
дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга …………….. |
29 |
3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1………………………………… |
33 |
4.ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ (4-5)……………………………... 34
4.1.Практическая работа № 4. Численное
интегрирование ………………………………………………. |
34 |
4.2. Практическая работа № 5. Численные |
|
методы решения обыкновенных дифференциальных |
|
уравнений и систем ………………………………………….. |
48 |
5. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2………………………………… |
56 |
6.ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ…………………….. 57
6.1.Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция…………………….. 57
6.2.Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое
приближение. Тригонометрическая интерполяция. |
|
|
Наилучшее равномерное приближение………………….... |
58 |
|
6.3. Тема 3. |
Численное дифференцирование. |
|
Метод Рунге-Ромберга.………………………………………. |
62 |
|
6.4. Тема 4. |
Численное интегрирование…………………… |
63 |
6.5. Тема 5. |
Численные методы решения обыкновен- |
|
Ных дифференциальных уравнений и систем……………. |
65 |
|
7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ…………………. |
67 |
|
7.1.Теоретические вопросы………………………………….. |
67 |
|
7.2. Практические задания……………………………........... |
70 |
|
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И |
|
|
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………… |
80 |
|
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс по выбору «Численные методы» тесно связан с дисциплиной «Вычислительная математика». Для изучения курса выделено 34 часа лекций, 34 часа практических занятий на группу для специальности «Математическое обеспечение и администри-рование информационных систем» и 34 часа лекций, 17 часов практических занятий на группу для специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Предусмотрены два вида контрольных мероприятий: домашняя расчетно-графическая работа и зачет как средство итогового контроля.
Для студентов обеих специальностей сформирован единый лекционный поток. На лекциях рассматриваются теоретические вопросы курса. Практические занятия и домашняя расчетно-графическая работа предназначены для выработки умений и навыков в решении задач. Задания домашней работы студенты выполняют самостоятельно в лабораториях кафедры или дома. Тексты заданий приведены ниже. Для успешного выполнения заданий домашней работы студентам необходимо выучить теоретический материал по соответствующей теме и понять примеры, разбираемые на практических занятиях и приведенные ниже в планах практических занятий.
Отчеты о выполнении заданий домашней работы можно писать в свободной форме, но они должны быть написаны грамотно, с соблюдением всех правил и норм русского языка. В отчете по выполнению каждого задания должен содержаться текст задания, подробное описание процесса его выполнения, а также полученные числовые результаты, их анализ и выводы. Все формулы, по которым велись вычисления, должны присутствовать в отчете. Графики функций представляются либо в виде копий экрана (screenshots), либо на миллиметровой бумаге. На графиках должны быть все необходимые для его понимания обозначения. Все таблицы оформляются по стандарту.
В процессе выполнения заданий домашней работы студенты могут использовать любые изученные ими ранее информационные технологии и программные средства (системы программирования, табличные процессоры или математические пакеты). Но в отчеты о выполнении заданий домашней работы, там, где используются
5
соответствующие программные средства, необходимо включать листинги программ или копии экранов (screenshots).
Отчетов студентов о выполнении заданий домашней работы проверяются преподавателем. Проверка дополняется собеседо-ванием, в ходе которого студентам объясняются недостатки их отчетов и пути их устранения. Кроме того, проверяется знание студентами теории. Собеседования по отчетам проводятся на практических занятиях.
Задание домашней работы считается успешно сданным, если к отчету нет никаких замечаний и студент во время собеседования показал удовлетворительное знание теории.
К итоговому зачету, проводимому на зачетной сессии, допускаются все студенты, успешно отчитавшиеся перед преподавателем по всем заданиям домашней работы. На зачет выносятся теоретические вопросы курса и задачи, не требующие больших объемов вычислений и программирования. Для получения итогового зачета по учебному курсу необходимо иметь зачет по всем темам учебного курса. Это можно делать как во время итогового зачета, так и в течение семестра. Сдача зачетов сту-дентами по отдельным темам проводится на практических занятиях.
Контрольные вопросы и задания для подготовки к зачету по каждой теме приведены ниже. В билет включены вопросы или задания по всем темам. Необходимым (но не достаточным) условием для получения зачета по теме является полное и безошибочное изложение всей теории по вопросу из билета (включая доказательства теорем и выводы формул) или верное решение задачи из билета по сдаваемой теме. Ошибки, на которые указал преподаватель в процессе ответа, должны быть устранены студентом без долгих раздумий. Кроме того, студенту будет предложено ответить на несколько простых дополнительных вопросов по теме, выходящих за рамки вопроса билета. На дополнительные вопросы студент отвечает без подготовки. Дополнительные вопросы не требуют долгого развернутого ответа. Это могут быть, например, формулировки основных задач, теорем, определения основных понятий учебного курса, основные формулы, идеи, геометрический смысл понятий, элементы фактического материала, фрагменты выполнения заданий домашней работы по сдаваемой теме, определения понятий и
6
формулы из курса высшей математики, используемые в теории и при решении задач. Студент, ответивший на вопрос билета по теме (решивший задачу из билета по теме) и правильно ответивший на 66% дополнительных вопросов, получает зачет по теме.
Студенты, получившие зачет по всем темам учебного курса и отчитавшиеся по всем заданиям домашней работы, получают итоговый зачет по всему курсу (возможно и досрочно). Студенты, не получившие зачет по всем темам учебного курса или не отчитавшиеся по всем заданиям домашней работы до окончания зачетной сессии, получают итоговый незачет по курсу.
Для ликвидации задолженности по учебному курсу студенты должны получить зачеты по всем не сданным ими темам и успешно отчитаться перед преподавателем по всем не сданным заданиям домашней работы.
7
1.СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
1.1.Тематический план лекционного курса
Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция (8 часов).
Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона. Кратные узлы интерполяции. Интерполя-ционный многочлен Эрмита. Обратное интерполирование. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполирование сплайнами. Многочлены Чебышева. Чебышевские узлы интерполяции. Основная литература: [1], с. 190-232.
Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение (8 часов).
Приближения тригонометрическими многочленами. Приближения многочленами Лежандра. Наилучшее приближение в R N [a;b]. Метод наименьших квадратов. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье. Наилучшее равномерное приближение. Основная литература: [1], с. 233-274.
Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга (3 часа).
Полиномиальные формулы. Оценки погрешности и порядки точности полиномиальных формул численного диф-ференцирования. Метод Рунге-Ромберга. Учет погрешности при неточно заданных табличных данных. Основная литература: [1], с. 275-291.
Тема 4. Численное интергирование (8 часов).
Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Метод неопределенных коэффициентов. Метод Монте-Карло. Вычисление первообразных, несобственных и кратных интегралов. Основная литература: [1], с. 292-333.
Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (7 часов).
8
Понятия приближенного и точного решения, погрешности. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Оценка погрешности по правилу Рунге. Многошаговые методы. Решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем. Схемы Эйлера и Рунге-Кутта. Решение краевых задач. Баллистический и разностный методы. Основная литература: [1], с. 334-368.
1.2. Планы практических занятий
Планы практических занятий приведены для специальностей «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» одновременно. Лекционный курс является совмещенным и теоретический материал, изучаемый студентами обеих специальностей один и тот же. В то же время, на специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» количество часов на проведение практических занятий в 2 раза меньше, чем на специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» (17 часов вместо 34 часов). Поэтому часть примеров, предусмотренных планами практических занятий, студенты специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» на занятиях рассмотреть не успеют. Они должны будут выполнить эти примеры дома самостоятельно, пользуясь данным учебно-методическим пособием и учебником [1]. По этой причине ниже приведены планы, которые полностью реализуются на практических занятиях только для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информа-ционных систем».
9
2.ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ (1-3)
2.1.Практическая работа № 1. Многочленная,
кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция
Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и
автоматизированных систем» − 2 часа.
План занятий:
1.Актуализация понятий обратимая и обратная функции, геометрического смысла обратимости, графика обратной функции, свойств таблицы значений обратимой и обратной функции, сплайн-функции.
2.Повторение постановок задач интерполяции с простыми и кратными узлами, интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона
иЭрмита, геометрического смысла интерполяции, оценок погрешности интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита, кусочно-многочленной, сплайновой и обратной интерполяции.
3.Решение примеров.
4.Консультирование студентов по выполнению домашней
работы.
Рассматриваемые примеры:
1. Дана таблица значений некоторой функции y = f (x) .
x |
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
y |
-1 |
|
0 |
1 |
8 |
|
Построить |
по |
ней |
интерполяционный |
многочлен |
y = P3 (x; x0 , x1 , x2 , x3 ) в форме Лагранжа и Ньютона. По этой же таблице провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона x = P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ). Сравнить полученные результаты.
Решение:
Подставим в общую формулу для многочлена Лагранжа значения xi , yi (i=0,1,2,3) и приведем многочлен к стандартному виду.
10
P3 ( x ; x0 , x1 , x2 , x3 ) = y0 |
(x − x1)(x − x2 )(x − x3) |
+ + y1 |
|
(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) |
||||||||||||||||||
(x0 − x1)(x0 − x2 )(x0 − x3) |
(x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
+ y2 |
(x − x0 )(x − x1)(x − x3 ) |
+ + y3 |
(x − x0 )(x − x1)(x − x2 ) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x |
2 |
− x )(x |
2 |
− x )(x |
2 |
− x ) |
|
(x − x )(x − x )(x − x |
2 |
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
3 |
|
3 |
0 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|||||||
= -1 |
( x −0)(x −1)(x −2) |
+0++1 |
(x +1)x(x − 2) |
|
|
+ 8 |
(x +1)x(x −1) |
= |
||||||||||||||
(-1 -0)(-1 -1)(-1 -2) |
(1+1) ×(1- 0)(1- 2) |
(2 +1)2(2 -1) |
||||||||||||||||||||
=xæç
è
= x(x −1)(x − 2) |
+ |
(x +1)x(x − 2) |
+ 4(x +1)x(x −1) |
= |
|
||
|
6 |
|
(- 2) |
|
3 |
|
|
(x −1)(x − 2) − 3(x +1)(x − 2) + 8(x +1)(x −1) ö |
æ |
(x -2)(x -1 -3x -3) +8(x2 -1) ö |
|||||
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
6 |
|
÷ = = xç |
|
6 |
÷ |
||
|
ø |
è |
|
ø |
|||
æ |
(x -2)(-2x -4) +8(x |
2 |
ö |
æ |
(x -2)(-x -2) + 4x |
2 |
ö |
= |
|
3 . |
= xç |
|
-1) ÷ |
= = xç |
|
-4) ÷ |
x |
||||
ç |
6 |
|
÷ |
ç |
3 |
|
÷ |
|
|
|
è |
|
|
ø |
è |
|
|
ø |
|
|
|
Запишем многочлен Ньютона в общем виде:
P3 ( x; x0 , x1 , x2 , x3 ) = y( x0 ) + y( x0,x1) ( x-x0 ) + |
+ y( x0,x1,x2 )( x-x0 ) ( x-x1) + |
y( x0,x1,x2,x3 )( x-x0 )( x-x1)( x-x2 ) .
Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.
y(x0 , x1) = |
y( x0 ) − y( x1 ) |
= |
|
(−1) − 0 |
= 1, y(x1, x2 ) = |
y( x1 ) − y( x2 ) |
= |
0 −1 = 1, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x0 − x1 |
|
|
|
|
(−1) − 0 |
|
|
|
|
x1 − x2 |
|
|
|
0 −1 |
|
|||||||||||
y(x2 , x3 ) = |
y( x2 ) − y( x3 ) |
= |
1− 8 |
= 7 |
, y(x0 , x1, x2 ) = |
|
y( x0 , x1 ) − y( x1 |
, x2 ) |
= |
1−1 |
|
= 0 , |
||||||||||||||||||||
|
1− 2 |
|
|
|
|
(−1) −1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y( x1, x2 ) − y( x2 , x3 ) |
|
x0 − x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y(x1, x2 , x3 ) = |
|
= 1− 7 |
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 − x2 |
|
|
|
1− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x0 , x1 |
, x2 |
, x3 ) = |
y( x0 , x1, x2 ) − y( x1, x2 , x3 ) |
= |
0 − 3 |
= 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 − 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
xi |
|
|
y(xi ) y(xi , x j ) y(xi , x j , xk y(xi , x j , xk , xl ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставим |
в |
общую |
формулу значения |
и |
разделенные |
|||||||||||||||||||||||||||
разности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) == −1 +1(x +1) +1(x +1)(x)(x −1) = −1 + x −1 + x3 − x = x3 . |
||||||||||||||||||||||
P |
(x; x |
0 |
, x , x |
2 |
, x |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проведем обратную интерполяцию, для чего построим теперь
11
интерполяционный многочлен x = P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ) . Запишем его в общем виде:
P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ) = x( y0 ) + x( y0,y1)( y − y0 ) + + x( y0,y1,y2 )( y − y0 ) ( y − y1) + x( y0,y1,y2,y3 )( y − y0 )( y − y1)( y − y2 ) .
Найдем разделенные разности и запишем их в таблицу.
x(y0 |
, y1) = |
x( y0 ) − x( y1 ) |
= |
|
(−1) − 0 |
|
|
= 1, x(y1 |
, y2 ) = |
x( y1 ) − x( y2 ) |
= |
0 −1 |
= 1, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 −1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y0 − y1 |
|
|
|
(−1) − 0 |
|
|
|
|
|
|
|
y1 − y2 |
|
|
|
|
|||||||||
x(y2 |
, y3 ) = |
x( y2 ) − x( y3 ) |
|
= |
1− 2 |
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y2 − y3 |
|
|
1− 8 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x(y0 |
, y1 |
, y2 ) = |
|
x( y0 , y1 ) − x( y1, y2 ) |
= |
1−1 |
|
= 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(−1) −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y0 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x(y1, y2 |
, y3) = |
x( y1, y2 ) − x( y2, y3 ) |
= |
1−1 7 |
= − |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 − 8 |
28 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y0 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x(y0 , y1, y2 , y3 ) = |
x( y0 , y1, y2 ) − x( y1, y2 , y3 ) |
|
= |
0 − (− 3 28) |
= − |
1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y0 − y3 |
|
|
|
|
(−1) − 8 |
84 |
|
|
|||||||||||||||||
i |
yi |
x( yi ) |
x( yi , y j ) |
x( yi , y j , yk ) |
|
0 |
-1 |
-1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
||
1 |
|||||
2 |
1 |
1 |
|
||
|
−3 28 |
||||
|
|
|
1 7 |
|
3 8 2
Подставим в общую формулу значения разности:
x( yi , y j , yk , yl ) 
−1
84
yi и разделенные
x= P3 ( y ; y0 , y1 , y2 , y3 ) = −1 +1( y +1) − 0,0119( y +1) y( y −1) =
=−1 + y +1 −0,0119 y3 +0,0119 y = −0,0119 y3 +1,0119 y .
Графики уравнений |
y = P3 (x; x0 , x1, x2 , x3 ) = x3 , |
x [−1 ; 2] и |
|
x = P3 ( y; y0 , y1, y2 , y3 ) =−0,0119 y 3 +1,0119 y , |
y [−1 ; 8], |
очевидно, |
|
различны, но довольно близки. Близость графиков |
связана с тем, |
||
что график многочлена y = P3 (x; x0 , x1, x2 , x3 ) есть приближение для графика функции y = f ( x) , а график уравнения x = P3 ( y; y0 , y1, y2 , y3 ) есть приближение для графика уравнения x = f −1 ( y) , совпадающего с графиком функции y = f ( x) .
12
2. Дана таблица значений некоторой функции y = f ( x) и её производной:
x |
-1 |
0 |
1 |
y |
-1 |
0 |
1 |
y′ |
|
0 |
|
Построить |
по ней |
интерполяционный |
многочлен Эрмита |
y = H3 ( x; x0 , x1 , x1 , x2 ) .
Решение:
Запишем многочлен Эрмита в общем виде:
y= H3 ( x ; x0 , x1 , x1 , x2 ) = y(x0 ) + y(x0 , x1)(x − x0 ) + y(x0 , x1, x1)(x − x0 )(x − x1) +
y(x0 , x1, x1, x2 )(x −x0 )(x −x1)2 .
Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.
y( y( y( y(
|
|
y( x |
0 |
) − y( x ) |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x0 |
, x1) = |
|
|
|
1 |
= |
(− ) − |
|
|
|
= 1, y(x1, x1) = y′( x1) = 0, |
|
|
|
|
||||||||||||
x0 − x1 |
|
(−1) − |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x1 |
, x2 ) = |
y( x1 ) − y( x2 ) |
= |
0 −1 = 1, y(x0 , x1 |
, x1) = |
y( x0 , x1 ) − y( x1, x1 ) |
= |
1− 0 |
|
= −1 |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
(−1) − |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
x1 − x2 |
|
|
|
|
0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 − x1 |
|
|
||||||
x1 |
, x1, x2 ) = |
y( x1, x1 ) − y( x1, x2 ) |
= 0 −1 |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x1 − x2 |
|
|
|
1− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y( x |
0 |
, x , x ) − y( x , x , x |
2 |
) |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x0 , x1, x1, x2 ) = |
|
|
1 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
= |
(− ) − |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 − 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
xi |
y(xi ) |
y(xi , x j ) |
y(xi , x j , xk |
y(xi , x j , xk , xl ) |
|
0 |
-1 |
-1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
-1 |
|
||
0 |
1 |
|||||
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
1 |
|
|||||
2 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
Подставим в общую формулу значения xi и разделенные разности. Получим:
y= H3 ( x; x0 , x1 , x1 , x2 ) =−1 +1(x +1) −1(x +1)x +1(x +1)x2 =
=−1+ x +1− x2 − x + x3 + x2 = x3 .