Угол между двумя прямыми
Пусть прямые l1и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: l1: y=k1х+b1, l2:y=k2x+b2, тогда острый угол между двумя прямыми определяется его тангенсом по формуле
.
Если прямые l1и l2 заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, то угол между ними можно найти как угол между их нормальными векторами
.
В случае задания прямых своими каноническими уравнениями
угол
между прямыми находится как угол между
направляющими векторами прямых
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых (табл. 2)
Таблица 2
|
№ п/п |
Способ задания прямых |
Условие параллельности прямых |
Условие перпендикулярности прямых |
|
1
|
l1: y=k1х+b, l2: y=k2x+b2 |
k1=k2 |
k1k2= -1 |
|
2 |
l1: А1х+В1у+С1=0 l2: А2х+В2у+С2=0 |
|
A1A2+B1B2=0 |
|
3 |
l1:
l2:
|
|
m1m2+n1n2=0 |
Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая l задана уравнениемАх+Ву+С=0, точка М0(х0,у0). Расстояние от точки М0(х0,у0) до прямой l определяется как
.
Примеры решения типовых задач
Написать уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b=-3 и составляющей с осью Ох угол 60˚.
Решение:
Воспользуемся
уравнением прямой с угловым коэффициентом
y=kx+b.
По условию b=-3,
а k=tgα=tg60˚=3.
Итак, у=
х-3
– уравнение искомой прямой.
Ответ: у=
х-3.
2. Определить параметры k и b для каждой из прямых:
1) 3х+4у=12;
2) 2х+3у=0;
3) у=-2;
4)
Решение:
1) 3х+4у=12;
2) 2х+3у=0;
3) y=-2;
4)
;
4у=12-3х;
3y=-2x;
k=0,
b=-2.
;
у=
;y=
;y=4-
;
y=
;
k=
,b=0.
y=-
;
y=
;
k=
,b=4.
k=
,b=3.
Ответ: 1) k=
,b=3;
2) k=
,b=0;
3) k=0,
b=-2;
4) k=
,b=4.
3. Дан треугольник с вершинами А(-1;1), В(1;5), С(3;-2). Написать уравнения сторон треугольника.
Решение:
Воспользуемся способом задания прямой по 2-м точкам:
АВ:
;
BC:
;
AC:
;
;
;
;
.
.
.
Ответ: АВ:
;
ВС:
;
АС:
.
4. Дана прямая 2х+3у-3=0 и точка М0(1;-2). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0: а) параллельно заданной прямой; б) перпендикулярно заданной прямой.
Решение:
1-й способ.
а) Условие параллельности двух прямых k1=k2.
Пусть уравнение
искомой прямой имеет вид y=k2x+b2;
3y=3-2x;
y=
;k1=
k2=
;у=
b2.
Так как М0(1;-2)
принадлежит прямой, то -2=
1+b2b2=-2+
,b2=
.
Итак,y=
3у+2х+4=0.
б) Условие перпендикулярности двух прямых k1k3=-1.
Пусть уравнение
искомой прямой имеет вид y=k3x+b3;k1=
k3
k3=
;y=
x+b3.
Так как М0(1;-2)
принадлежит прямой, то -2=
1+b3b3=-2
b3=
.
Итак,
3x-2у-7=0.
2-й способ.
.
М0(1;-2)
Рис.2
а) Из общего
уравнения прямой 2х+3у-3=0
определяем координаты вектора нормали
.
Если искомая прямая параллельна заданной,
то вектор
будет являться нормалью и к искомой
прямой (рис.2). Мы имеем нормаль и точку
М0(1;-2),
через которую проходит искомая прямая,
поэтому используем уравнение прямой,
проходящей через точку М(х0,у0)
перпендикулярно вектору
.
А(х-х0)+В(у-у0)=0,
2(х-1)+3(у+2)=0,
2х+3у+4=0.
б) Если искомая
прямая l1
(рис.3)
перпендикулярна заданной l,
то вектор
будет параллелен прямойl1,
и мы возьмем его в качестве направляющего
вектора искомой прямой
.
l
.
2х+3у-3=0
М(1;-2)
l1
Рис.3
Используем
уравнение прямой, проходящей через
точку М(х0,у0)
параллельно вектору
.
.
У нас
.
;
3х-3=2у+4,
3х-2у-7=0.
Ответ: 2х+3у+4=0, 3х-2у-7=0.
Найти расстояние от точки М0(2;-1) до прямой 3х+4у-22=0.
Решение:
;х0=2;
у0=-1.
А=3; В=4; С=-22.
.
Ответ: 4.