- •Содержание
- •Векторная алгебра
- •Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами
- •Примеры решения типовых задач
- •1.2. Скалярное произведение двух векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •Векторное произведение двух векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •1.4. Смешанное произведение трех векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая линия на плоскости
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Примеры решения типовых задач
- •2.2. Кривые второго порядка на плоскости
- •Плоскость в пространстве
- •Примеры решения типовых задач
- •2.4. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Примеры решения типовых задач
- •2.5. Задачи для самостоятельного решения
- •Список рекомендуемой литературы
1.5. Задачи для самостоятельного решения
1.Найти длину вектора , если: С(1;-3;4),D(0;-2;1).
Ответ: ||=.
2. Найти длину радиус-вектора точки М(2;-3;6).
Ответ: 7.
3. Найти длину вектора , если{2;-1;0},{3;-1;4}.
Ответ: .
4.Найти направляющие косинусы вектора , если А(3;-5;4);D(2;-1;0).
Ответ: cosα=:cos=:cosγ=.
5. Даны векторы =2и. Найти: а); б); в).
Ответ: а) 5; б) 5/9; в) .
6. Даны векторы . Проверить, являются ли они ортогональными.
Ответ: не являются.
7. Вычислить работу силы , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из начала координат в положение М(1;-1;3).
Ответ: 16.
8. Раскрыть скобки и упростить выражение:
1) ;
2) .
Ответ: 1) 2; 2) 3.
9. Даны векторы и. Найти.
Ответ: .
10. Найти площадь параллелограмма АВСD, если его вершины А(3;-2;4), В(0;-1;6), С(1;-3;6), D(1;-1;0).
Ответ: .
11. Сила приложена в точке А(1;-1;0). Найти ее момент относительно точки В(2;-1;3).
12. Проверить компланарность векторов ,
, .
Ответ: компланарны.
13. Даны координаты вершин пирамиды А(4;4;10), В(7;10;2), С(2;8;4), D(9;6;9).
Найти: а) VАВСD; б) S∆АВС; в); г).
Ответ: а) 4; б) ; в); г).
14. Найти угол между векторами , гдеединичные векторы и угол между ними равен 120˚.
Ответ: -1/2.
Аналитическая геометрия
2.1. Прямая линия на плоскости
Уравнением линии на плоскости ХОУ называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.
Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.
Простейшей из линий является прямая.
Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений (табл. 1).
Таблица 1
№ п/п |
Вид уравнения |
Смысл входящих в уравнение коэффициентов |
Примечания |
1 |
Уравнение с угловым коэффициентом y=kx+b |
k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ОY |
≠π/2 |
2 |
Общее уравнение прямойАх+Ву+С=0 |
А,В – координаты вектора, перпендикулярного прямой (нормального вектора) N |
А,В не равны нулю одновременно |
3 |
Уравнение прямой, про-ходящей через данную точку в данном направ-ленииу-у0=k(х-х0 ) |
т.М(х0,у0) – заданная точка; k – угловой коэффициент прямой |
При различных k уравнение называется уравнением пучка прямых с центром в точке М(х0,у0) |
4 |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки |
т.М1(х1,у1), т.М2(х2,у2) – заданные точки |
- |
5 |
Уравнение прямой в отрезках на осях х
|
а,b – отрезки, отсекаемые прямой от координатных осей ОХ и ОY соответственно |
а≠0, b≠0 |
6 |
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору |
т.М0(х0,у0) – заданная точка; m,n – координаты вектора, параллельного искомой прямой ( направляющего век-тора) |
Такое уравнение часто называют каноническим |
№ п/п |
Вид уравнения |
Смысл входящих в уравнение коэффициентов |
Примечания |
|
|
| |
7 |
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0 |
т.М0(х0,у0) – заданная точка, А,В – координаты нормального вектора искомой прямой |
|