1.2. Скалярное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: =|||

=

|

k()=

= (k=

=)

Вычисление в прямоугольных координатах: если

, то

.

Скалярное произведение ортов

=0

=1

Работа силы F на перемещение S А=

Примеры решения типовых задач

1. Даны векторы =3и. Найти: а);

б) ; в).

Решение:

а) =3∙2+(-1)3+2(-1)=6-3-2=1;

б) ;

в) .

Ответ: а) 1; б); в).

2. Даны векторы {3;-1;4},{-2;2;2}. Проверить, являются ли они ортогональными.

Решение:

=3∙(-2)+(-1)2+4∙2=-6-2+8=0. Следовательно, векторы ортогональны.

3. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).

Решение:

А=. Найдем координаты вектора=:

{4-2;2-4;7-6};

={2;-2;1}.

Найдем работу А:

А=3∙2+2(-2)+4∙1=6-4+4=6.

Ответ: 6.

4. Найти длины диагоналей параллелограмма (рис.1), построенного на векторах , где=60˚.

Рис.1

Решение:

Выразим диагонали параллелограмма ипо правилу

параллелограмма: ,

.

Так как векторы не единичные, следовательно,заданы в произвольном базисе, тоиможно найти по определению:

=

=.

=

=.

Ответ: =.

1. Векторное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Векторным произведением двух векторов называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторахии направлен так, что кратчай-ший поворот отквидится против часовой стрелки

=

Площадь треугольника

S=

)=

= k()

Условие коллинеарности

Момент силы , в точке А относительно точки О:

Вычисление

Примеры решения типовых задач

1. Раскрыть скобки и упростить выражение:

а) ;

б) (2.

Решение:

а) +

=2

б) (2=2

.

2. Даны векторы и. Найти.

Решение:

.

Ответ: .

3. Найти площадь ∆АВС, если А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).

Решение:

S_∆АВС=. Найдем координаты векторов:

{3-1;0-2;-3-0}={2;-2;-3};

{5-1;2-2;6-0}={4;0;6}.

Найдем векторное произведение :

=.

.

S_∆АВС=.

Ответ: .

4. Сила приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее

момент относительно начала координат.

Решение:

. Найдем координаты вектора : О(0;0;0), М(2;-1;1), следовательно,{2;-1;1}.

=

=.

Ответ: .

1.4. Смешанное произведение трех векторов

Свойства

Определение

Применение

Смешанным произведением трех векторов называется произведение вида

(=

=

Объем параллелепипеда

V=

==

====

,

,

то

Объем пирамиды

V=

Условие компланарности трех векторов:

=0

Примеры решения типовых задач

1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки

А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); D(3;0;-2).

Решение:

. Найдем координаты векторов :

;

;

.

.

=4.

Ответ: 4.

2. Доказать, что векторы=2,икомпланарны.

Доказательство:

,следовательно, компланарны.

3. Проверить, лежат ли точки А(2;-1;-2), В(1;2;1), С(2;3;0), D(5;0;6) в одной плоскости.

Решение:

Для того чтобы доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, нужно доказать, что векторы компланарны. Найдем координаты векторов:

{1-2;2-(-1);1-(-2)}={-1;3;3};

{2-2;3-(-1);0-(-2)}={0;4;2};

{5-2;0-(-1);6-(-2)}={3;1;8}.

Проверим компланарность векторов :

, следовательно, векторы не компланарны, таким образом, точки А, В, С,D не лежат в одной плоскости.

4. Даны координаты вершин пирамиды А(1;2;-3), В(1;0;-1), С(2;4; -6), D(0;-1;3). Найти а) V_АВСD; б) S_∆АВС; в) ; г).

Решение:

а)V_АВСD=. Найдем координаты векторов:

{1-1;0-2;-1(-3)}={0;-2;-2};

{2-1;4-2;-6-(-3)}={1;2;-3};

{0-1;-1-2;3-(-3)}={-1;-3;6}.

Найдем смешанное произведение :

=2(6-3)=2(-3+2)=6-2=4.

Итак, V_АВСD=(куб.ед.).

б) S_∆АВС=. Найдем векторное произведение векторов:

.

.

S_∆АВС=(кв.ед.)

в) .

Найдем скалярное произведение векторов :

=0∙1+(-2)2+2(-2)=0-4-6=-10.

Найдем длину ||=.

Итак, .

г) .Найдем скалярное произведение:

=1(-1)+2(-3)+(-3)6=-1-6-18=-25.

Найдем длину :

||=. Значит,.

Ответ: а) 2/3 куб.ед.; б) кв.ед. в); г).