7.2. Потоки событий.

Поток событий(ПС) – последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим вслучайныемоменты времени.

Не имеет смысла говорить о вероятности событий, образующих поток, так как в этом случае рано или поздно событие произойдёт и не одно. В этом отличие термина «событие»в понятиипоток событийот понятия«случайное событие» в теории вероятностей (это всякий факт, который может произойти или не произойти).

Поток событий является в общем случае просто последовательностью случайных точек₁,₂, …,_nна оси времени 0tс разделяющими их случайными интерваламиТ₁,Т₂, …,Т_n–1,Т_n, таких, что (рис. 1.1а)

Т₁=₂–₁;Т₂=₃–₂; …;Т_n=_n+1–_n.

Простейший ПС обладает тремя свойствами:

1

Рис. Поток событий (а) и

экспоненциальный закон распределения вероятности безотказной работы (б)

)ординарностью,означающей, чтособытия приходят поодиночке,а не «пачками» по два, три и т. д. ПС ординарный, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мало по сравнению с вероятностью попадания одного события (потоки деталей, поступающих на сборочный конвейер; потоки отказов технических устройств; потоки автомашин, прибывающих на станцию техобслуживания и т. д.);

2) отсутствием последействия, означающим, что события, образующие поток, появляются впоследовательные случайные моменты времени независимо друг от друга.ПС без последействия наблюдается, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой;

3) стационарностью – однородностью по времени, то есть постоянством его статистических характеристик. ПС стационарен, если вероятность попадания того или иного числа событий на участке временизависит только от длины участка и не зависит от того, где этот участок находится на осиt.

Для ординарного потока событий весьма важно понятие «интенсивность потока» (t):

(t) =.

Здесь X(t,t) – случайное число событий, попадающих на элементарный участок (t,t+t).

Физический смысл интенсивности (t) потока событий – этосреднее число событий, приходящееся на единицу времени, для элементарного участкаt, примыкающего кt.

Интенсивность ПС может быть любой неотрицательной функцией времени ((t)0) и имеет размерность [1/время]. Для стационарного ПС интенсивность постоянна ((t) =const).

Простейший поток событий называют ещё стационарным пуассоновским потоком, для которого вероятность того, что на участке времени длины наступит ровноkсобытий, определяется по зависимости

,

где a=– среднее число событий, приходящееся на участок.

Такой поток назван простейшим потому, что исследование систем, находящихся под воздействием простейших потоков, проводится самым простым образом.

7.3. Системы массового обслуживания.

Системы массового обслуживания (СМО)– это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его об служиванию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

1. входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

2. дисциплина очереди;

3. механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении.

Дисциплина очереди – это важный компонент системы массово­ го обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

- первым пришел – первый обслуживаешься;

- пришел последним – обслуживаешься первым;

- случайный отбор заявок;

- отбор заявок по критерию приоритетности;

- ограничение времени ожидания момента наступления обслужи­ вания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживанияопределяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продол­жительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процеду­ры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

1. вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

2. вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;

3. конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);

4. количеством и производительностью обслуживающих каналов;

5. дисциплиной очереди;

6. мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживанияв зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

1. вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

2. вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

3. относительная и абсолютная пропускная способность системы;

4. средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

5. среднее время ожидания в очереди;

6. средняя длина очереди;

7. средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны – обслуживаемая и обслуживающая.

Примерами процессов этого типа являются:

1) обслуживание покупателей в сфере розничной торговли;

2) транспортное обслуживание;

3) медицинское обслуживание населения;

4) ремонт аппаратуры, машин, механизмов, находящихся в эксплуатации;

5) обработка документов в системе управления;

6) туристическое обслуживание.

Неотъемлемой частью системы массового обслуживания является узел обслуживания, через который осуществляется взаимодействие входного и выходного потоков заявок. В случае транспортного обслуживания каналом может считаться отдельная единица транспортного средства.

Вид графической модели зависит как от числа каналов n, так и от допустимой длины очереди m. По указанным признакам различается ряд типов СМО, перечисленных в табл.

По числу обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СМО.

Находящиеся в СМО заявки могут либо ожидать обслуживания, либо находиться под обслуживанием. Часть заявок, ожидающих обслуживания, образует очередь.

В зависимости от целочисленного значения m используются следующие названия в классификации типов СМО:

1) m = 0 – без очереди;

2) m > 0 – с очередью.

Если число мест в очереди m является конечным, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении обслуживания некоторым заявкам. В связи с этим СМО указанного типа называются системами с отказами. Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми, или, если m = 0, все каналы оказались занятыми. Считается, что заявка, получившая отказ в обслуживании, навсегда теряется для СМО. Таким образом, пропускная способность СМО этого типа всегда меньше 100 %.

Если m не ограничено, что иногда условно записывают как m = , то соответствующая СМО называется системой с ожиданием. В СМО данного типа пришедшая заявка при отсутствии возможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания, какой бы длинной ни были очередь и продолжительность времени ожидания.

Типы систем массового обслуживания

№ п/п	Параметры СМО		Тип СМО
	n	m
1	1	0	Одноканальная, без очереди
2	n > 1	0	Многоканальная, без очереди
3	1	1 < m <∞	Одноканальная, с ограниченной очередью
4	n > 1	1 < m <∞	Многоканальная, с ограниченной очередью
5	1	m = ∞	Одноканальная, с неограниченной очередью
6	n > 1	m = ∞	Многоканальная, с неограниченной очередью

Вопросы для самопроверки.

1. Какой случайный процесс называется Марковским?

2. Дискретные и непрерывно Марковские процессы.

3. Что такое Марковская цепь? Однородные и неоднородные Марковские цепи.

4. Размеченный граф состояний системы.

5. Сформулируйте методику моделирования по схеме дискретных Марковских процессов.

6. Как составляются дифференциальные уравнения Колмогорова для размеченного графа состояний системы при моделировании по схеме непрерывных марковских процессов?

7. Что такое поток событий? Три свойства простейшего потока событий?

8. Назовите и охарактеризуйте основные компоненты систем массового обслуживания любого вида.

9. Перечислите основные критерии эффективности систем массового обслуживания.

10. Какие типы систем массового обслуживания Вам известны?

Рекомендуемая литература

1. Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. – М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1998.

2. Таха, Х. Введение в исследование операций: В 2 кн. Кн.1 / Пер. с анг. – М.: Мир, 1985.

3. Таха, Х. Введение в исследование операций: В 2 кн. Кн.2 / Пер. с анг. – М.: Мир, 1985.

4. Коршунов, Ю.М. Математические основы кибернетики: учебн. пособие для вузов / Ю.М. Коршунов. –М.: Энергия, 1987.

5. Фёдоров, В.П. Математическое моделирование в машиностроении:

учебное пособие. / В.П.Фёдоров – Брянск: БГТУ, 2013.= 112 С.

Лекция 8. (Окончание раздела 5)«Оптимизация моделей в машиностроении» (1 час)

План лекции :

8.1. Критерии оптимизации моделей в машиностроении.

8.2. Классификация методов оптимизации.