Математика высшая

НГАВТ - Стр 2 из 57

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Цель преподавания математики в вузе — ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и прак- тических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыка мате-

матического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указа- ния и контрольные задания по курсам аналитической геометрии, линейной алгеб- ры, математического анализа, функций комплексной переменной, теория поля, числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, теории вероятностей и математической статистики.

Всего предусматривается выполнение восьми контрольных работ, причем каждое задание содержит по 20 вариантов. Перед выполнением контрольной

работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям, рекомендуемым в данной книге. В ней же даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практичес- кого материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационных пунктах.

Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, иници- алы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины я дату отправки работы в институт.

Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

Впрорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмечен- ные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию.

Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

Вслучае необходимости все дополнительные сведения, связанные со спецификой учебных планов данного вуза или с методикой изучения курса, принятой в этом вузе, сообщаются студентам кафедрами высшей математики вузов дополнительно к настоящему пособию.

НГАВТ - Стр 3 из 57

ЛИТЕРАТУРА

1.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрия и линейной алгебры. - M.: 1987, 1998.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры а аналитической геометрии.— М.: 1980, 1984.

3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление.— М.: 1980, 1984.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: 1981, 1985.

5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник - М.: 1982,

1987.

6.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.:

1997.

7.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.— М.: 1997.

8.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (в двух частях). — М.: 1996, 1997.

9.Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П.

Демидовича - М.: 1986, 1987.

10.Щипачев В. С. Высшая математика - М.: 1996.

11.Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. М.: 1998.

НГАВТ - Стр 4 из 57

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ

И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Основные теоретические сведения

1. Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элемен- тов определителя. Обозначение:

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя n-го порядка назы-

вается определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на (- 1)i+j .

Рекуррентная формула для вычисления определителя n-го порядка имеет вид

D = an1 An1 + an2 An2 + ... + ann Ann

(разложение определителя по элементам n-й строки).

Определитель второго порядка

где ϕ - угол между векторами a и b .

НГАВТ - Стр 5 из 57

3. Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор с , длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла

между ними и который направлен перпендикулярно векторам a и b так, что векторы a , b , с образуют правую тройку (рис. 1):

= (ay bz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (ax by − ay bx )k; cr = arb sinϕ

Геометрически c равен площади S параллелограмма, построенного на век-

торах a и b :

S = arb sinϕ

НГАВТ - Стр 7 из 57

(поэлементное умножение i-й строки матрицы A на k-й столбец матрицы B). Матрица размера n × n называется квадратной матрицей n-го порядка. Эле-

менты a11,a22 ,...,ann образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем мат-

рицы н обозначается A или det A.

стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю; например,

НГАВТ - Стр 8 из 57

Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду Ar путем элементарных преобразований: а) перестановки столбцов (строк); б) умножения столбца (строки) на число, отличное от нуля; в) прибавления к элементам какого- либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.

Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразова-

ний, называются эквивалентными: A ~ Ar .

Число г единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы Ar не

зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы A: r(A)=r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

9. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х1, х2,

х3 имеет вид

где аij - коэффициенты системы; bi - свободные члены. Определитель третьего

НГАВТ - Стр 10 из 57

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя. Пример 1. По координатам вершин пирамиды А1 (3; -2; 2), А2 (1; —3; 1), A3 (2;

0; 4), А4 (6; -4; 6) найти: 1) длины ребер А1Аг и А1А3; 2) угол между ребрами А1Аг и А1А3; 3) площадь грани А1АгА3 ; 4) объем пирамиды

Решение. 1) Находим векторы А1Аг и А1А3:

A1 A2 = (1- 3)i + (-3 - (-2)) j + (1- 2)k = -2i - j - k ;

A1 A3 = (2 - 3)i + (0 - (-2)) j + (4 - 2)k = -i + 2 j + 2k.

Длины этих векторов, т. е. длины ребер А1Аг и А1А3, таковы:

A1 A2 = (-2)2 + (-1)2 + (-1)2 = 6;

A1 A3 = (-1)2 + 22 + 22 = 3.

2) Скалярное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 находим по формуле (1):

A1 A2 × A1 A3 = (-2)×(-1) + (-1) ×2 + (-1) ×2 = -2,

а косинус угла между ними — по формуле (5):

Отсюда следует, что φ — тупой угол, равный π − arccos 0,27 = 1,85 рад с точ- ностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А1Аг и А1А3.

3) Площадь грани А1АгА3 равна половине площади параллелограмма, по-

строенного на векторах и A1 A3 , т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов [см. формулу (2)]: