Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Технический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математика высшая

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

НГАВТ - Стр 41 из 57

lim

- 3x + 2

;

- x - 6

x ® 2 2x

13. 1)

lim

ln x

;

x + 1

x ® 0

lim

2 + 3x + 1

;

+ x - 1

x ® -0,5

lim

3x3 - 5

;

14. 1)

x ® ¥ lnç1

2x3 - 5x + 2

3) lim x2 - x - 2 ; x ® 2

15. 1)	lim		sin x × (tgx + x);
15. 1)	x ® π
	x ® π
		2
3)	lim			3x	2 + 4x + 1			;
	lim	1		3x	2	- 5x - 2		;
	x ® -				2
	x ® -		3
			3
						1
16. 1)	lim	(2 + x)				x2	;
16. 1)	x ® 0
	x ® 0
3)	lim			3x	2 + 7 x + 2				;
	lim	1		3x	2	- 2x - 1			;
	x ® -				2
	x ® -		3
			3

(7 + 2x)

−

lim

x+3 ;

x ® -3

lim

2x2 - x - 4

;

+ 3x

+ 2

x ® ¥

lim

(1 - sin2 2x)−

;

1−cos 4 x

x ® 0

lim

4x3 + 3x2 - 2

;

x3 - x - 6

x ® ¥

lim

(1 - sin 3x)

;

1−cos 2 x

x ® 0

lim

8x3 + 11

;

7 x

- 5x

+ x

x ® ¥

lim

(10 - 3x)

3(3− x )

;

x ® 3

lim

4x3 - 2x

+ x

;

+ 5x

- 10

x ® ¥

lim

(5 + 2x)

;

x+2

x ® -2

НГАВТ - Стр 42 из 57

17. 1)

lim

− e

− x2 − 1

;

arctgx

x → ∞

lim

2 + x − 1

;

− x

− 1

x → 0,5

18. 1)

lim

1 − cos 3x

;

ctgx

x → π

lim

2x2 + 7 x + 6

;

+ x

− 2

x → −2

19. 1)

lim

e x+2 − 1

;

x → −2 + ln( x + 2)

lim

3x2 − 7 x + 2

;

+ 11x − 4

x → 1 / 3

20. 1)

lim

(4 − x)

(1+ x )2

;

x → −1

lim

2 − 5x + 1

;

− 3x + 1

x → 0,5

lim

x2 + 3x − 8

;

− 5x −

x → ∞

lim

(9 − x3 )

;

x − 2

x → 2

lim

2x2 − 5x + 8

;

+ 6x −

x → ∞

lim

(3 − 2x2 )

2(1− x )

;

x → 1

lim

14 x3 + 9x + 17

;

21x

+ 10 x −

x → ∞

lim

(9 + 2x)

−1

;

2( x+4)

x → −4

lim

4x3 + 9x2 + 2x

;

− 8x + 4

x → ∞

lim

(4 + 3x)

;

x +1

x → −1

IV. Функция f ( x) представляет собой сумму трех одночленов. Указать среди них одночлен, эквивалентный всей сумме: а) при x → 0 ; б) при x → ∞ .

f ( x) = 5x2 − 3x + 3

f ( x) = −3x2 + x − 4

f ( x) = x2 − 5x + 43

f ( x) = −2x2 + 4x − 34

f ( x) = 4x2 + 7 x − 25

f ( x) = −4x2 − 2x + 43

НГАВТ - Стр 43 из 57

7. f ( x) = -6x2 - 2x + 33x5 9. f ( x) = -5x2 - 3x + 4 x

11. f ( x) = 3x2 + 7 sin 2x 13. f ( x) = x4 - 2sin2 x 15. f ( x) = x3 + 4sin2 3x 17. f ( x) = 3x3 - sin x 19. f ( x) = 2x5 - sin3 x

8. f ( x) = x2 - 4x - 5x2


10.	f ( x) = 3x2 + 6x - 25 x5
12.	f ( x) = 5x3	+ 1 - cos x
14.	f ( x) = 3x5	- 2cos x + 2
16.	f ( x) = 2x6	- 1 + cos( x2 )
18.	f ( x) = x4 + 3 - 3cos 2x
	f ( x) = 6x2 +
20.	f ( x) = 6x2 +		1 - cos 2x

V. Исследовать функцию y = f ( x) на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

y =

x + 5

x + 4

y =

x + 4

x + 3

y =

x + 3

x + 2

y =

x + 2

y =

x + 1

x + 2

, x < -2,

x + 2

- x2 , - 2 £ x £ 2,

11.

y = í 4

, x > 2

x - 2

2.	y =	x - 5	+		5


		x - 5			x

		x - 4			4
4.	y =		+

		x - 4			x

		x - 3			3
6.	y =			+

		x - 3			x

8.y = x - 2 + 2

x- 2 x

10. y =

x - 1

x + 3

, x < -3,

x + 3

y =

9 - x2 , - 3 £ x £ 3,

12.

, x > 3

x - 3

НГАВТ - Стр 44 из 57

, x

< 0,

1 - x2 , 0 £ x £ 1,

13.

y = í

x > 1

x -

, x < 0,

9 - x2 , 0 £ x £ 3,

15.

y = í

x > 3

x -

, x < -3,

x + 3

- 9 - x2 , - 3 £ x £ 3,

17.

y = í

x - 3

, x > 3

x - 3

, x < -2,

+ 2

4 - x2 , - 2 £ x £ 2,

19.

y = í

x > 2

, x < 0,

4 - x2 , 0 £ x £ 2,

14.

y = í

x > 2

x -

, x < -2,

x + 2

- 4 - x2 , - 2 £ x £ 2,

16.

y = í

x - 2

, x > 2

x - 2

, x < -1,

+ 1

1 - x2 , - 1 £ x £ 0,

18.

y = í

x > 0

, x < -3,

+ 3

9 - x2 , - 3 £ x £ 0,

20.

y = í

x > 0

VI. А.			Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа
z = z1 + z2 .			Изобразить	числа	z1 , z2		и	z на	комплексной плоскости.
Вычислить		z12 по формуле Муавра.

Номер	z1					Номер		z1		z2
задачи	z1					задачи		z1		z2
1.	-2		2(cos 4π	+ i sin	4π )		2.	− 2i	2(cos 5π	+ i sin	5π )
			3		3				6		6
3.	-2		2(cos π	+ i sin	π )		4.	− 2i	2(cos 11π	+ i sin	11π )
			3		3				12		12

НГАВТ - Стр 45 из 57

5.	2	2(cos	4π	+ i sin	4π )		6.	− 2i	2(cos π		+ i sin	π )
			3		3					6		6
7.	2	2(cos	5π	+ i sin	5π )		8.	2i	2(cos	7π	+ i sin	7π )
			3		3					6		6
9.	2	2(cos	2π	+ i sin	2π	)	10.	-2	2(cos	5π	+ i sin	5π )
9.	2	2(cos	3	+ i sin	3	)	10.	-2	2(cos	6	+ i sin	5π )
			3		3					6		6
Б.	решить	уравнение az 3 + bz 2					+ cz + d = 0		и изобразить его			корни

z1 , z2 , z3 на комплексной плоскости. Проверить, что

			z	1	+ z	2	+ z	3	= − b	,	z z	2	+ z		z	3	+ z		2	z	3		=	c	,	z z	2	z	3	= − d
			z		+ z		+ z		= − b	,	z z		+ z		z		+ z			z			=		,	z z		z		= − d
									a		1		1											a		1				a
									a															a						a

Номер		a					b		c		d			Номер									a			b				c	d
задачи		a					b		c		d			задачи									a			b				c	d
задачи														задачи
11		9				15			11		5				12								9			-21				17	-5
13		4				-12			13		-5				14								2			4				3	1
15		9				21			17		5				16								4			8				9	-5
17		4				12			13		5				18								9			-15				11	-5
19		2				-4			3		-1				30								4			8				9	5
									КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
	I. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения
производной.
1.	y = −				5										2.			y =					3
1.	y = −		3x − 4												2.			y =				5x + 4
			3x − 4																			5x + 4
3.	y = −				4										4.			y =					5
3.	y = −		3x − 5												4.			y =				4x + 3
			3x − 5																			4x + 3
5.	y = −				3										6.			y =					5
5.	y = −		4x − 5												6.			y =				3x + 4
			4x − 5																			3x + 4
7.	y = −				3										8.			y =					4
7.	y = −		5x − 4												8.			y =				3x + 5
			5x − 4																			3x + 5

НГАВТ - Стр 46 из 57

y = -

10.

y =

4x - 3

4x + 5

11.

y =

2x - 3

12.

y =

1 - 2x

y =

13.

4 - 3x

14.

3x + 4

y =

15.

3x - 7

16.

2x + 3

y =

17.

3 - 2x

18.

2x - 9

y =

19.

1 + 2x

20.

5 - 3x

II. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

1. 1)	y = 3x5 - sin x
3)	y =		ln x
		4	- 3cos x

2.1) y = 4x4 + e x

3)y = 3x ctgx

3. 1)	y = 33				x			- ln x
3)	y =	ctgx
		x		4

4. 1)	y = 5x2 - arcsin x
		3
3)	y =		x4
		e		x

	y = 44					+ arctg x
5. 1)					x
3)	y =	tg x
		ln x
	y = 55						- 7arcctg x
6. 1)					x
3)	y =	3 x5
		e		x


2)	y =		x		× tgx
	ìx = arcsin 2t
	ï		1
4)	í	y =	1
4)	ï	y =		1 - 4t		2
	î			1 - 4t

2)y = sin x × ln x

ìx = (1 - t 2 )

4)íî y = cos( t - 1)2

2)y = e x arcsin x

ìx = (t - 1)2

4)íî y = sin(t - 1)2

2)y = 3x2 ln x

ìx = tg t 2

4)íî y = t 2 - 5

2)y = x5e x

ìx = 7 + t 2

4)íî y = ctg 3t 2

2) y = cos x × (3x - 1)

ìx = ln(1 - t4 )

4)íî y = arccos t 2

2) y = ctg 4

НГАВТ - Стр 47 из 57

7. 1)

y = 10 x3 + 2cos x

y =

ln x

arcsin x

8. 1)

y = 63

- 7tg x

y =

ctg x

9. 1)

y =

+ 3ctg x

y =

e x

arcsin x

10. 1)

y = 7 x6 + 2arccos x

y = 5

ln x

11. 1)

y =

y = e

arctg

12.1) y = 34 x3

3)y = cos ln(1 - x2 )

13.1) y = 65 5x6

3)y = ctg e7 x

14.1) y = 73 3x7

2)	y = sin x × 4		x
	ì	3
	ï
	ï	1 + t 2
4)	í x =	1 + t 2
4)	ï
	î y = arctg t

2)y = e x × arccos x

ìx = arctg (1 + t2 )

4)íî y = t 2 + 2t + 2

2)y = ln x × arctg x

ìx = sin2 (1 - 4t)

4)íî y = cos2 (1 - 4t)

2)	y = e x × ctg x
	ì	x =	3e	− t
4)	í	x =	3e		t	)	3
	î y = (2		+ e−			)

2)y = sin4 4x

ìx = arctg t 2

4)íî y = ln(1 + t4 )

2) y = tg5 25x

ì x = ar cos t

4)íî y = (1 - t 2 )3

2)y = cos3 43x

ìx = ln(5 - 2t)

4)íî y = arctg (5 - 2t)

НГАВТ - Стр 48 из 57

3)y = arcsin 34 - 5x

15.1) y = 33 3x4

3)y = earcsin( 2 x − 4 )

16.1) y = 75 5x7

3)y = ln( x − cos 3x)

17.1) y = 54 4x5

3)y = sin ln( x3 + 1)

18.1) y = 56 6x5

3)y = tg e5 − 2 x

19.1) y = 67 7x6

3)y = ln(2 - cos2 x)

20.1) y = 45 5x4

3)y = ln(3x2 - tg2x)

ì x = t × e−4t

4)íî y = (1 - 4t)2

2)	y = ln5		x
2)	y = ln5
		5
	ì x = ctg(1 - 2t)
	ï				1
4)	í y =				1
4)	í y =			2
	ï	cos		2	(1	- 2t)
	î	cos			(1	- 2t)

2)y = arcsin 4 53x

ìx = sin3 (t - 4)

4)íî y = cos3 (t - 4)

2) y = arccos 4 53x

ì x = t × e−5 t

4)íî y = (5t - 1)2

2)y = arcctg 5 25x

ìx = cos3 (2t + 6)

4)íî y = sin3 (2t + 6)

2)	y = arctg 3				4x

		3
	ì	1
	ïx =
		sin2 (2 - t)
4)	í
	ï
	î y = tg(2 - t)
2)	y = sin4			e x

		4
	ìïx =
			(1 - t 2 )3

4)íï y = arcsin t

III. Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой y = f ( x) в точке, абсцисса которой равна x0 .

НГАВТ - Стр 49 из 57

1.y = 33x2 + 2x + 2

2.y = 33x2 − 8x − 1

3.y = 33x2 + 6x + 3

4.y = 33x2 − 2x − 2

5.y = 33x2 + 6x + 1

6.y = 33x2 − 2x + 2

7.y = 33x2 + 8x − 1

8.y = 33x2 − 6x − 3

9.y = 33x2 + 2x + 2

10.y = 33x2 − 6x − 1

11.y = 4 −2x2

12.y = 4 − 2x2

13.y = 6 −3x2

14.y = −4 −2x2

15.y = −4 − 2x2

16.y = −6 −3x2

17.y = 4 −2x2

18.y = 4 − 2x2

19.y = −6 −3x2

20.y = −4 − 2x2

x0 = −1 x0 = 1 x0 = −1 x0 = 1 x0 = −1 x0 = 1 x0 = −1 x0 = 1 x0 = −1 x0 = 1

x0 = −2

x0 = 1

x0 = −3

x0 = 2

x0 = 1

x0 = −3

x0 = 2 x0 = −1

x0 = 3 x0 = −1

IV. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

НГАВТ - Стр 50 из 57

lim

1 − 6x

− 1 + 2x

;

x → 0

lim

6sin 2x − 12 x

;

x → 0

lim

3tg2x − 6x

;

x → 0

lim

e−5 x − 1 + 5x

;

x → 0

lim

2sin 3x − 6x

;

x → 0

11.

lim

x − 1

;

ln x

x → 1

13.

lim

arctg ( x + 2)

;

x → −2

( x + 2)

15.

lim

x + 1

;

− 7

+ 2

x → −1

17.

lim

x − sin x

;

x − tgx

x → 0

19.

lim

cos(π x / 2)

;

x → −1

x + 1

lim

2e x 2

− 2 − x

;

x → 0

− 1 − 2x

lim

1 + 4x

;

x → 0

lim

ln(1 − 3x) + 3x

;

x → 0

lim

arcsin 4x − 4x

;

x → 0

10.

lim

2 ln(1 + 0,5x) − x

;

x → 0

− 2

12.

lim

4 + x

;

x → 0

14.

lim

( x − 3)2

;

sin

( x

− 3)

x → 3

16.

lim

4sin x − 1

;

sin 2x

x → 0

18.

lim

ln x

;

ln sin x

x → 0

20.

lim

x − 2

;

5 − 2x −

x → 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>