Математика высшая

i

j

k

r

r

A1 A2 × A1 A3 =

− 2

−1 −1

= 5 j

− 5k.

−

1

2

2

=

1

= 1

=

5 2

S

A A A

A A A A

52 + (−5)2

2

1

2 1 3

2

2

1

2

3

4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на

векторах A1 A2 ,

A1 A3 ,

A1 A4 . Вектор

A1 A4

= 3i − 2 j + 4k . Используя формулу

(3), получаем

V = 1

1 mod

− 2

−1

−1

1 mod(−30) = 5

A A A A A A

=

−1

2

2

=

6

1

2

1

3

1

4

6

− 2

6

3

4

x − 2

y + 4 z −1

x − 2 y + 4 −1

−1− 2 2 + 4 0 −1

= 0,

− 3

6

−1

= 0,

0 − 2 − 2 + 4 3−1

− 2

2

2

По уравнениям

плоскостей определяем

их нормальные

векторы:

N1 = 7i + 4 j + 3k , N2

= 5i + 2 j − 3k . Угол ϕ

между плоскостями

P1 и P2

находим по формуле (5):

cosϕ =

N

× N

» 0,64

r1

r 2

N1

N2

x - 4

=

y(-3)

=

z - 1

,

x - 4

=

y + 3

=

z - 1

5 - 4

1

0

- 3 - (-3) 0 - 1

- 1

ì2x + x

2

- 3x

3

= -5

ï

1

í x1 - 2x2 + 2x3 = 17

(16)

ï

x + x

2

+ 3x

3

= 4

î

1

Решение. Вычислим определитель системы

2

1

- 3

2

- 1

- 9

3+1

- 1

- 9

D =

1 - 2

2

=

1 - 3 - 1

= 1×(-1)

= -26

1

1

3

1

0

0

- 3

- 1

Так как D ¹ 0 , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера

(11). Для этого найдем D1 , D2 , D3 :

- 5

1

- 3

2

- 5

- 3

D1 =

17

- 2

2

= -78, D2 =

1

17

2

= 130,

4

1

3

1

4

3

2

1

- 5

D3 =

1

- 2 17 4

= -52

1

1

3

æ2 1

- 3

ö

æ x

ö

æ

- 5ö

ç

1

- 2 2

÷

ç 1

÷

ç

17

÷

A = ç

÷, X = ç x2

÷, B = ç

÷

ç

1

1

3

÷

ç

÷

ç

4

÷

è

ø

è x3

ø

è

ø

Так

как определитель матрицы системы

отличен от нуля (см. пример 4):

A

= -26 , то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы

A−1

вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

A =

- 2 2

= -8, A = -

1 - 3

= -6, A =

1 - 3

= -4,

11

1

3

21

1

3

31

- 2

2

A = -

1 2

= -1, A =

2 - 3

= 9, A = -

2 - 3

= -7,

12

1

3

22

1

3

32

1

2

A =

1 - 2

= 3, A = -

2 1

= -1, A =

2

1

= -5

13

1

1

23

1

1

33

1

- 2

1

æ - 8

- 6

- 4ö

A−1 = -

ç

- 1 9

- 7

÷

ç

÷

26

ç

3

- 1

- 5

÷

è

ø

й, а из 3-го вычитая 2-й, получаем

æ4

- 3

- 1ö

ç

0

1

÷

A ~ ç

0÷

ç

4

1

÷

è

- 1ø

æ

1

- 3 - 1ö æ

1

- 3 -1ö

ç

0

1

0

÷

ç

0

1

0

÷

A ~ ç

÷

~ ç

÷

ç

1

1

÷

ç

0

4

0

÷

è

- 1ø è

ø

æ

1

- 3 -1ö æ

1

0

0ö

ç

0

1

0

÷

ç

0

1

0

÷

A ~ ç

÷

~ ç

÷

ç

0

0

0

÷

ç

0

0

0

÷

è

ø

è

ø

решение которой

имеет вид

x

= 1 x

3 ,

x

= −

4 x

. Придавал свободному

1

5

2

5

3

неизвестному x3 произвольные значения

x3

= 5t ,

получаем решение системы

(17) в виде x1 = t ,

x2 = −4t ,

x3

= 5t .

1- λ

6

= 0,

или

λ2 - 3λ - 4 = 0,

1

2 - λ

откуда следует, что матрица

А

имеет два

собственных

значения

λ1 = 4 и

λ2 = -1. Собственный вектор

X1 ,

соответствующий λ1

= 4 , определяется из

системы уравнений вида (15)

ì(1- 4)x1 + 6x2

= 0

или

ì- 3x1 + 6x2 = 0

í

- 4)x2

= 0

í

- 2x2 = 0

î x1 + (2

î x1

которая сводится к одному уравнению x1 = 2x2 .

Полагая x2 = t ,

получаем

X

æ

2

ö

1

= ç

÷ t

.

ç

1

÷

è

ø

Эта система уравнений также сводится

к одному уравнению

x1 + 3x2 = 0 ;

полагая x2 = t , запишем ее решение в виде x1 = -3t, x2 = t .

Следовательно,

X

æ - 3ö

второй собственный вектор есть

2

= ç

÷ t

.

ç

÷

è 1

ø

Таким образом, матрица А имеет

два

собственных различных значение

λ1 = 4 и λ2 = -1 и

два

собственных

вектора, равных (с точностью до

X

æ

2

ö

X

æ

- 3

ö

постоянного множителя)

1

= ç

÷ t

,

2

= ç

÷ t

.

ç

1

÷

ç

1

÷

è

ø

è

ø

x = ρ cos ϕ ,

y = ρ sinϕ

(1)

ρ =

x2 + y2 ,

tgϕ = y / x

где ρ - полярный радиус, а

ϕ - полярный угол точки М (рис. 3).

2. Определение конечного предела функции в точке: число А называется

пределом функции f (x)

при x → a , если для любого ε > 0 найдется δ > 0

такое, что

f (x) − A

< ε

при

x − a

< δ . Обозначение: lim f ( x) = A

или

x → a

f (x) → a при x → a .

при x → a , если lim f ( x) = 0 (lim F ( x) = ∞) .

x→a

x→a

Две

функции

f (x) и

ϕ(x) , одновременно стремящиеся к нулю или

бесконечности при

x → a ,

называются эквивалентными, если

lim

f ( x)

= 1.

f (x) ~ ϕ (x) .

x→a

ϕ ( x)

Обозначение:

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно

больших) функций не

изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т. е.

lim

f ( x)

= lim

f1 ( x)

(2)

ϕ1 ( x)

x→a ϕ ( x)

x

→a

если f (x) ~

f1 (x), ϕ (x) ~ ϕ1 (x) .

3. К основным элементарным функциям относятся: 1) степенная

функция

y = xn ;

2)

показательна

функция

y = ax ; 3)

логарифмическая

функция

y = loga

x ; 4) тригонометрические функции: y = sin x,

y = cos x,

y = tg x,

y = ctg x;

5)

обратные

тригонометрические

функции:

y = arcsin x,

му значению функции в этой точке:

lim f ( x) = f (a) .

x → a

Y

0

ρ

x,ρ

ϕ

M(ρ;ϕ)

x → ∞ 3) применение эквивалентных

бесконечно малых и

бесконечно

больших; 4) использование двух замечательных пределов:

1

lim

sin a( x) = 1; lim (1 + a( x))

= e

a( x )

(3)

a( x )→0 a( x)

a( x )→0

Отметим также, что

lim

C

= 0,

если lim f ( x) = ¥

f ( x)

x→a

x→a

lim

C

= ¥,

если lim f ( x) = 0

f ( x)

x→a

x→a

lim

f ( x)

= 0,

если lim f ( x) = 0, limϕ ( x) = ¥

ϕ ( x)

x→a

x→a

x→a

lim

f ( x)

= ¥,

если lim f ( x) = ¥, limϕ ( x) = 0

x→a ϕ ( x)

x→a

x→a

4.

Функция/(х) называется непрерывной в точке x = a , если:

1)

частное значение функции в точке x = a равно f (a) ;

2)

существуют конечные односторонние пределы функции

lim f ( x) = f (a − 0),

lim

f ( x) = f (a + 0)

(4)

x→a−0

x→a+0

3) односторонние пределы равны:

f (a - 0) = f (a + 0) = C,

(5)

4) предельное значение функции в точке x = a равно ее частному значению

f (a)

С = f (a)

(6)

Обозначение: lim f ( x) = f (a)

x→a

f (a) ¹ С

Точка

x = a

называется точкой устранимого разрыва,

если

[нарушается условие (6)].

Точка

x = a

называется точкой

разрыва первого

рода,

если оба

односторонних предела конечны, но

f (a - 0) ¹ f (a + 0) [нарушается условие

ρ =

z

=

x2 + y2 , ϕ = arg z

(tgϕ = y / x)

(7)

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.

4).

Извлечение корня

n-й степени (n

— натуральное

число) из числа

n

æ

ϕ + 2kπ

+ i sin

ϕ + 2kπ ö

(8)

z = n ρ çcos

n

n

÷

è

ø

где n

— арифметический корень из модуля z , a

k = 0,1..., n - 1 .

ρ

у

у

у

5

6

4

z=x+iy

Ö3

у

0

7

3

j

j

х,r

r

Действитель-

8

2

х

0

ная ось

х

Мнимая

-1

0

х,r

М(Ö3;-1)

ось

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Пример 1. Найти полярные координаты точки M (

3;-1) (рис. 5).

Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный

угол точки М:

y

ρ =

= 2, tgϕ =

3

x2 + y2 = (

)2 + (-1)2

= -

,

3

x

3

Решение. Так

как

полярный радиус не

отрицателен, т. е.

ρ ³ 0 ,

то

sinϕ ³ 0 , откуда

0 £ ϕ £ π ;

значит,

вся

кривая

расположена

в верхней

полуплоскости. Составим вспомогательную таблицу:

Номера точек

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ϕ

0

π/8

π/4

3π/8

π/2

5π/8

3π/4

7π/8

π

sinϕ

0

0,38

0,71

0,92

1

0,92

0,71

0,38

0