Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Технический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математика высшая

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

НГАВТ - Стр 44 из 45

3,9	0002	0002		0002	0002	0002		0002		0002				0002		0002		0001
															ПРИЛОЖЕНИЕ 5
	Таблица значений функции ϕ ( x) =								1			x	e − x 2 / 2dz

										2π
										2π	ò0
х	Ф(х)			х	Ф(х)		х			Ф(х)					х		Ф(х)
0,00	0,0000		0,24		0,0948		0,48		0,1844						0,72		0,2642
0,01	0,0040		0,25		0,0987		0,49		0,1879						0,73		0,2673
0,02	0,0080		0,26		0,1026		0,50		0,1915						0,74		0,2703
0,03	0,0120		0,27		0,1064		0,51		0,1950						0,75		0,2734
0,04	0,0160		0,28		0,1103		0,52		0,1985						0,76		0,2764
0,05	0,0199		0,29		0,1141		0,53		0,2019						0,77		0,2794
0,06	0,0239		0,30		0,1179		0,54		0,2054						0,78		0,2823
0,07	0,0279		0,31		0,1217		0,55		0,2088						0,79		0,2852
0,08	0,0319		0,32		0,1255		0,56		0,2123						0,80		0,2881
0,09	0,0359		0,33		0,1293		0,57		0,2157						0,81		0,2910
0,10	0,0398		0,34		0,1331		0,58		0,2190						0,82		0,2939
0,11	0,0438		0,35		0,1368		0,59		0,2224						0,83		0,2967
0,12	0,0478		0,36		0,1406		0,60		0,2257						0,84		0,2995
0,13	0,0517		0,37		0,1443		0,61		0,2291						0.85		0,3023
0,14	0,0557		0,38		0,1480		0,62		0,2324						0,86		0,3051
0,15	0,0596		0,39		0,1517		0,63		0,2357						0,87		0,3078
0,16	0,0636		0,40		0,1554		0,64		0,2389						0,88		0,3106
0,17	0,0675		0,41		0,1591		0,65		0,2422						0,89		0,3133
0,18	0,0714		0,42		0,1628		0,66		0,2454						0,90		0,3159
0,19	0,0753		0,43		0,1664		0,67		0,2486						0,91		0,3186
0,20	0,0793		0,44		0,1700		0,68		0,2517						0,92		0,3212
0,21	0,0832		0,45		0,1736		0,69		0,2549						0,93		0,3238
0,22	0,0871		0,46		0,1772		0,70		0,2580						0,94		0,3264
0,23	0,0910		0,47		0,1808		0,71		0,2611						0,95		0,3289
0,96	0,3315		1,16		0,3770		1,36		0,4131						1,56		0,4406
0,97	0,3340		1,17		0,3790		1,37		0,4147						1,57		0,4418
0,98	0,3365		1,18		0,3810		1,38		0,4162						1,58		0,4429
0,99	0,3389		1,19		0,3830		1,39		0,4177						1,59		0,4441
1,00	0,3413		1,20		0,3849		1,40		0,4192						1,60		0,4452
1,01	0,3438		1,21		0,3869		1,41		0,4207						1,61		0,4463
1,02	0,3461		1,22		0,3883		1,42		0,4222						1,62		0,4474
1,03	0,3485		1,23		0,3907		1,43		0,4236						1,63		0,4484
1,04	0,3508		1,24		0,3925		1,44		0,4251						1,64		0,4495
1,05	0,3531		1,25		0,3944		1,45		0,4265						1,65		0,4505
1,06	0,3554		1,26		0,3962		1,46		0,4279						1,66		0,4515
1,07	0,3577		1,27		0,3980		1,47		0,4292						1,67		0,4525
1,08	0,3599		1,28		0,3997		1,48		0,4306						1,68		0,4535

Е.С. Мироненко

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей высших учебных заведений

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1998

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Цель преподавания математики в вузе — ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыка математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по курсам аналитической геометрии, линейной алгебры, математического анализа, функций комплексной переменной, теория поля, числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, теории вероятностей и математической статистики.

Всего предусматривается выполнение восьми контрольных работ, причем каждое задание содержит по 20 вариантов. Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям, рекомендуемым в данной книге. В ней же даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационных пунктах.

Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины я дату отправки работы в институт.

Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

Впрорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию. Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

Вслучае необходимости все дополнительные сведения, связанные со спецификой учебных планов данного вуза или с методикой изучения курса, принятой в этом вузе, сообщаются студентам кафедрами высшей математики вузов дополнительно к настоящему пособию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрия и линейной алгебры. - M.: 1987, 1998.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры а аналитической геометрии.— М.: 1980, 1984.

3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление.— М.: 1980, 1984.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.:

1981, 1985.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник - М.: 1982,

1987.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.: 1997.

7.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.— М.: 1997.

8.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (в двух частях). — М.: 1996, 1997.

9.Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П.

Демидовича - М.: 1986, 1987.

10.Щипачев В. С. Высшая математика - М.: 1996.

11.Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. М.: 1998.

y ( n )

( n −1 )

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Основные теоретические сведения

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка

называется дифференцируемая функция							y = ϕ ( x , C ) , которая при				любом
значении произвольной постоянной						C является решением данного уравнения.
Решения, получающиеся из общего решения y = ϕ ( x , C )									при определенном
значении произвольной постоянной C , называются частными. Задача
нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям											y = y0
при x = x0						= y0 ), называется задачей Коши.
	(другая запись		y	x = x	0

График всякого решения			y = ϕ ( x ) данного дифференциального уравнения,
построенный	на	плоскости	xOy ,			называется		интегральной		кривой	этого
уравнения.		вида y′ + A( x ) y = B( x )
2. Уравнение								называется	линейным.		Если
B( x ) = 0 ,	то	уравнение		называется			однородным;		если	B( x ) ≠ 0 -

неоднородным. Общее решение однородного уравнения получается путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации

произвольной постоянной интегрирования C .

Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью

замены		y = uv , где u, v — две неизвестные функции.
	3. Дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешенное относительно
производной, имеет					вид y ( n ) = f ( x,		y, y′, ..., y ( n −1 ) ) . Задача нахождения
решения			y = ϕ ( x ) данного уравнения,				удовлетворяющего начальным условиям

y	x = x0	=	y0 ; y′	x = x 0	= y0′ … ; y ( n −1 )		= y0( n −1 ) называется задачей Коши.

						x = x 0

Для нахождения частного решения иногда используют так называемые краевые условия. Эта условии (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.

4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении = f ( x, y, y′, ..., y ) функция f ( x, y, y′, ..., y ( n −1 ) ) а)

непрерывна по всем своим аргументам

x ,

y, y′, ..., y ( n −1 ) в некоторой области

D их изменения;

б)

имеет ограниченные в области

D частные производные

∂f

y′, ..., y ( n −1 ) ,

, ...,

, по аргументам

то найдется

интервал

∂y′

∂y

( n

−1 )

∂y

x0 − h < x < x0

+ h ( h > 0) ,

на

котором

существует

единственное

решение

y = ϕ ( x )

данного

уравнения,

удовлетворяющее

условиям

y( x0 ) = y0 ;

y′( x

) =

y′

;

y ( n −1 ) ( x

) =

y ( n −1 )

, где значения

x = x

; y = y

;

y′ =

y′ ; ...;

y ( n −1 ) = y0( n −1)

содержатся в области D .

Проинтегрировать (в конечном виде) уравнение n -гo порядка можно только

внекоторых частных случаях.

5.Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными

коэффициентами имеет вид a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x ) ,							где a0 , a1 , a2 - числа,
причем a0	≠ 0 .		Если f ( x ) = 0 , то уравнение называется однородным,					а если
f ( x ) ≠ 0	- неоднородным.
6. Квадратное уравнение a0 k 2 + a1 k + a2					= 0 называется характеристичес-
ким уравнением			дифференциального уравнения			a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 .		Пусть
D = a12 − 4a0 a2			— дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие
случая:
1) D > 0		— общим решением уравнения				a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 является
функция y = C1 e k1 x + C 2 e k 2 x				( k1 и k2 - корни характеристического уравне-
ния);
2) D = 0		— общим решением служит функция y = (C1 + C 2 x )e kx						( k —
корень характеристического уравнения);
3) D < 0		— общим решением является				функция	y = e ax (C1 cos βx +
+ C 2 sin βx )			( k1 = α + βi, k2 = α − βi		-	корни	характеристического

уравнения).

7. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.

Теорема. Если y* — некоторое частное решение неоднородного уравнения

a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x )	и Y — общее решение	соответствующего
однородного уравнения	a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 , то	общее решение

неоднородного уравнения имеет вид y = Y + y* .

Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения

методом неопределенных коэффициентов.

1) Пусть f ( x ) = b0 x 2 + b1 x + b2 ; тогда:

а) y*

= Ax 2 + Bx + C , если нуль не является корнем характеристического

уравнения;

б) y*

= Ax 3 + Bx 2 + Cx ,

если

нуль

является

простым

корнем

характеристического уравнения;

в) y*

= Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 ,

если

нуль

является

двукратным

корнем

характеристического уравнения.

2) Пусть f ( x ) = be αx ; тогда:

а) y*

= Ae αx , если

число

не является

корнем

характеристического

уравнения;

б) y*

= Axe αx ,

если число

является

корнем

характеристического

уравнения;

в) y*

= Ax 2 e αx ,

если

число

является

двукратным

корнем

характеристического уравнения.

3) Пусть f ( x ) = e αx ( M cos βx + N sin βx ) ; тогда:

а) y*

= e αx ( A cos βx + B sin βx ) , если число α + βi не является корнем

характеристического уравнения;

б) y* = xe αx ( A cos βx + B sin βx ) , если число α + βi

является корнем

характеристического уравнения;

8. Система дифференциальных уравнений вида

∂x1

= f ( t ,

x ,

x , ...,

x ),

∂t

∂x 2

= f2 ( t ,

x1 ,

x 2 , ...,

x n ),

∂t

.......... .......... .......... .......... ...

∂x

= fn ( t ,

x1 ,

x 2 , ...,

x n ).

∂t

где x1 , x 2 , ..., x n

— неизвестные

функции

независимой

переменной t ,

называется нормальной системой.

Пусть дана система n линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

∂x1			= a	x	+ a	x + ... + a	x ,
∂t			11	1	12	2	1 n n

	∂x 2
			= a21 x1		+ a22 x 2 + ... + a2 n x n ,

∂t
		.......... .......... .......... .......... ...
	∂x
		n	= an1 x1		+ an 2 x 2 + ... + ann x n .


∂t

Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального

уравнения dt = AX , где

...

dx1

1 n

a21

a22

...

a2 n

A =

;

X =

;

= ...

...

dx n

an 2

...

an1

ann

x n

Решение

системы

ищем

виде

= p1 e λt ,

x 2

= p2 e λt , ...,

x n

= pn e λt .

Подставив значении

x1 ,

x 2 , ..., x n

в систему дифференциальных

уравнений,

получим

систему

линейных алгебраических

уравнений

относительно

p1 , p2 , ..., pn :

( a11 − λ ) p1 +			a12 p2 +	...	a1 n pn	= 0,
	a21 p1	+	( a22 − λ ) p2 + ...		a2 n pn	= 0,

	...		...	...	...

	an1 p1	+	an 2 p2 +	...	(ann − λ ) pn = 0.

Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения λ получаем уравнение n -й степени:

a11 − λ	a12	...	a1 n
a21	a22 − λ	...	a2 n	= 0.
...	...	...	...	= 0.
...	...	...	...
an1	an 2	...	ann − λ

Пусть это характеристическое уравнение имеет n различных корней λ1 , λ2 , ..., λn . Тогда система дифференциальных уравнений имеет n решений:


1-е решение, соответствующее корню λ = λ1 :
x		11	= p		11		e λ1 t ; x	21	= p	21	e λ1 t ; ...; x	n1	= p	n1		e λ1 t ;
		11			11			21		21		n1		n1
2-е решение, соответствующее корню λ = λ2 :
x	12		= p	12		e λ2 t ; x		22	= p	22	e λ2 t ; ...; x	n 2	= p		n 2		e λ2 t ;
	12			12				22		22		n 2			n 2

……………………………………………………………………….

n-е решение, соответствующее корню λ = λn :

x1 n = p1 n e λn t ; x 2 n = p2 n e λn t ; ...; x nn = pnn e λn t ;

Получена фундаментальная система решений. Общее решение системы имеет вид

x1	= c1 x11	+ c 2 x12	+ ... + c n x1 n ,
	= c1 x 21	+ c 2 x 22	+ ... + c n x 2 n ,
x 2

.......... .......... .......... .......... .........
	= c1 x n1	+ c 2 x n 2 + ... + c n x nn .
x n

9. Пусть u = u( x; t ) — функция, характеризующая отклонение точек

струны от положения равновесия в момент времени t . Функция u = u( x; t ) удовлетворяет дифференциальному уравнению


	∂ 2 u	= a 2	∂ 2 u		+ f ,
	∂t 2		∂x 2

где a 2 = T0 / ρ ,	f = F / ρ , ρ — масса единицы длины (линейная плотность
струны); F —	сила, действующая на			струну перпендикулярно оси Ox и
рассчитанная на единицу длины; T0		— начальное натяжение.

Если f = 0 (т. е. внешняя сила отсутствует), то получается уравнение

	∂ 2 u		= a 2	∂ 2 u			= ϕ ( x ),
свободных колебаний струны	∂t	2		∂x	2 . Пусть u	t =0

∂u

∂x t =0 = ψ ( x ), (форма и скоросгь струны в начальный момент времени). Эти

условия называются начальными условиями задачи.

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны имеет вид

u = ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )

+ at

∫ψ ( z )dz .

2a x − at

∂ 2 u

= a 2

∂ 2 u

Решение дифференциального уравнения

∂t

∂x

2 , удовлетворяющее

начальным

условиям

= ϕ ( x ),

∂u

= ψ ( x )

граничным

(краевым)

∂x

t = 0

условиям

= 0

и u

= 0 , может

быть

представлено

как сумма

x =0

x = l

бесконечного ряда:

∞

kπat

kπx

u( x , t ) = ∑

cos

+ bk

sin

k =1

kπx

где ak =

∫ϕ ( x ) sin

dx , bk =

∫ψ ( x ) sin

dx .

kπa

Граничные условия вводятся при изучении колебаний

струны

длины l ,

закрепленной в двух точках x = 0 и x = l .

Пример 1. Найти общее решение уравнения

xy + e x

+ xy′ = 0 и частное

решение, удовлетворяющее начальному условию

y(1) = 2 .

Решение. Перепишем данное уравнение так:

xy′ + xy = −e x и рассмотрим

однородное уравнение

xy′ + xy = 0 x ( y′ + y) = 0 . Так как x ≠ 0 (значение

x = 0 не является решением неоднородного уравнения), то

y′ + y = 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>