Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Технический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математика высшая

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

НГАВТ - Стр 31 из 57

(−∞, − 1)

− 1

(−1, 0)

(0, + ∞)

y′

не опр.

точка

перегиба

Учитывая

полученные

результаты,

строим

график

функции

y = −

x 3

(рис. 9).

( x + 1)2

y = f (x) ,

Пример 6. Найти первую производную

функции

заданной

параметрически:

x= ln(1 − t),

y= (t − 1)2 .

Решение.

Дифференцируем

x(t) и

y(t)

параметру

t :

x′

= −

, y′

= 2(t − 1)

. Искомая производная от

y по x равна отношению

− t

производных от y(t)

и от x(t)

по t :

′

= dy =

yt′

2(t − 1)

= 2(t − 1)2 .

xt′

− 1 /(1 − t)

Пример

Найти

частные

производные

функции

u = z

− ye z .

x 3

u функцией только одной переменной x ,

Решение.

Считая функцию

переменные y

z рассматривая как постоянные [см. формулу (4)],

находим

Аналогично,

считая

u функцией только

y , а затем только

z ,

= −e z ,

− ye z .

получаем

x 3

			2
			2
			2
-3	-1	0	x	Рис. 9
-3	-1	0	x	Рис. 9
			y=-x+2

НГАВТ - Стр 32 из 57

Пример 8. Найти поверхности уровня скалярного поля U = x 2 + y2 + z2 .


Вычислить производную поля в точке A (-2
Вычислить производную поля в точке A (-2		3; - 1; 1)	по направлению
	→
вектора	AB , где B (0; − 4; 3) .
Решение. Поверхностями уровня данного поля являются концентрические
сферы с	центром в начале координат [см. формулу (5)]:		x 2 + y2 + z2 = С .

Градиент вычисляется по формуле (6):

gradU = 2xi + 2 yj + 2zk .

→

Найдем единичный вектор AB :

2 3 r 3 r 2 r

2 3ir - 3 rj + 2kr

0 =

→

i -

j +

k ,

→

12 + 9

+ 4

а затем по формуле (7) производную скалярного поля U по направлению вектора

→

AB в точке A :

3 ö

( gradU , l

) = ç

2x ×

2 y × ç -

÷ + 2z ×

= -2,8

5 ø

Так как dUdl < 0 , то данное скалярное поле убывает в направлении вектора

→

AB .

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

I. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых А1А2 и А1А3; 6) уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4; 7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4.

1.А1(-1; 2; 1), А2(-2; 2; 5), А3(-3; 3; 1), А4(-1; 4; 3).

2.А1(-2; I; -1), А2(-3; 1; 3), А3(-4; 2; -1), А4(-2; 3; 1).

3.А1(1; 1; 2), А2(0; 1; 6), А3(-l; 2; 2), A4(l; 3; 4).

4.А1(-1; -2; 1), А2(-2; -2; 5), А3(-3, -1; 1), A4(-1; 0; 3).

5.А1(2; -1; 1), А2(1; -1; 5), (0; 0; 1), (2; 1; 3).

6.А1(-l; 1; -2), А2(-2; 1; +2), А3(-3; 2; -2), А4(-1; 3;0).

НГАВТ - Стр 33 из 57

7.А1 (1; 2; 1), А2(0; 2; 5), А3(-1; 3; 1), А4(1; 4; 3).

8.А1(-2; -1; 1), А2(-3; -1; 5), А3(-4; 0; 1), А4(-2; 1; 3).

9.А1 (1; -1; 2), А2(0; -1; 6), А3(-1; 0; 2), А4(1; 1; 4).

10.А1(1; -2; 1), А2(0; -2; 5), А3(-1; -1; 1), А4(0; 0; 3).

11.А1 (0; 3; 2), А2(-1; 3; 6), А3(-2; 4; 2), А4(0; 5; 4).

12.А1(-1; 2; 0), А2(-2 2; 4), А3(-3; 3; 0), А4(-1; 4; 2).

13.А1(2; 2; З), А2(1; 2; 7), А3(0; 3; З), А4(2; 4; 5).

14.А1(0; -1; 2), А2(-1; -1; 6), А3(-2; 0; 2), А4(0; 1; 4).

15.А1(3; 0; 2), А2(2; 0; 6), А3(1; 1; 2), А4(3; 2; 4).

16.А1(0; 2; -1), А2(-1; 2; 3), А3(-2; 3; 7), А4(0; 4; 1).

17.А1(2; 3; 2), А2(1; 3; 6), А3(0; 4; 2), А4(2; 5; 4).

18.А1(-1; 0; 2), А2(-2; 0; 6), А3(-3; 1; 2), А4(-1; 2; 4).

19.А1 (2; 0; 3), А2(1; 0; 7), А3(0; 1; 3), А4(2; 2; 5).

19.А1(2; -1; 2), А2(1; -1; 6), А3(0; 0; 2), А4(2; 1;4).

II.Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1)найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матрич- ной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правиль- ность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

	ì- x1 + 2x2 + x3 = 5																					ì - 2x2 - 5x3 = -12
	ï																					ï
1)	í2x1 - 3x2 + 3x3 = 1																				2)	í- 2x1 - x2 + 3x3 = 7
1)	ï	x		- 5x								= -9									2)	ï		- х + x							+ x								= 4
	ï	x	2	- 5x							3	= -9										ï		- х + x				2			+ x					3			= 4
	î		2								3											î		1				2								3
	ì- 3x1 + х2 + 3x3 = 10																					ì - x1 + 2x3 = 5
	ï	- 2x2 - x3 = -4																				ï
3)	í	- 2x2 - x3 = -4																			4)	í2x1 + 2x2 + 5x3 = 10
3)	ï	2х - x									+ 3x									= 3	4)	ï3х - 2x								+ 2x									= -1
	ï	2х - x							2		+ 3x								3	= 3		ï3х - 2x					2			+ 2x								3	= -1
	î	1							2										3			î		1			2											3
	ì2x - x					2		- 6x								3			= -15			ì		- x + x						2	- x						3		= 0
	ï	1				2										3						ï		1						2							3
5)	í	3x1 - x2 + x3 = -2																			6)	í3x1 - 4x2 + 3x3 = -1
5)	ï	- x + 3x																= 7			6)	ï		- 2x		- 3x										= -8
	ï	- x + 3x												3				= 7				ï		- 2x	2	- 3x							3			= -8
	î			1										3								î			2								3
	ì2x - х					2		+ x					3				= -1					ì		3x - 2x							2	= -5
	ï	1				2							3									ï		1							2
7)	í	- x1 + 3x3 = 7																			8)	íx1 - 2x2 + x3 = -1
7)	ï	х + x					+ 3x											= 6			8)	ï х + 3x							- x								= 0
	ï	х + x			2		+ 3x								3			= 6				ï х + 3x				2			- x					3			= 0
	î	1			2										3							î		1		2								3
	ì	x - 3x						2		+ x						3			= -2				ì	- x + 3x											2			= 4
	ï	1						2								3							ï		1										2
9)	íx1 - 2x2 - 4x3 = -11																				10)		í3x1 - 2x2 + x3 = -3
9)	ï	- 2x - x																= 1			10)		ï	2х + x							- x								= -3
	ï	- 2x - x												2				= 1					ï	2х + x				2			- x					3			= -3
	î					1								2									î	1				2								3

НГАВТ - Стр 34 из 57

	ì4x + 7x			2			- 3x					3			= -10
	ï	1		2								3
11)	í	2x1 + 9x2 - x3 = 8
11)	ï	- x + 6x								- 3x								= 3
	ï	- x + 6x						2		- 3x						3		= 3
	î	1						2								3
	ì2x + 4x			2			- 3x					3			= -10
	ï	1		2								3
13)	í	- x1 + 5x2 - 2x3 = 5
13)	ï	3x - 2x								+ 4x								= 3
	ï	3x - 2x					2			+ 4x					3			= 3
	î	1					2								3
	ì- 3x1 + 5x2 - 6x3 = -5
	ï	2x1 - 3x2 + 5x3 = 8
15)	í	2x1 - 3x2 + 5x3 = 8
15)	ï	x1 + 4x2 - x3 = 1
	ï
	î
	ì x + 3x		2			- 2x					3			= -5
	ï	1	2								3
17)	í	x1 + 9x2 - 4x3 = -1
17)	ï- 2x + 6x									- 3x								= 6
	ï- 2x + 6x								2	- 3x							3	= 6
	î	1							2								3
	ì- 2x1 + x2 - 3x3 = -4
	ï	4x1 + 7x2 - 2x3 = -6
19)	í	4x1 + 7x2 - 2x3 = -6
19)	ï	x - 8x							+ 5x								= 1
	ï	x - 8x			2				+ 5x				3				= 1
	î	1			2								3

	ì x1 - 5x2 + 3x3 = -1
	ï	2x1 + 4x2 + x3 = 6
12)	í	2x1 + 4x2 + x3 = 6
12)	ï- 3x + 3x							- 7x							= -13
	ï- 3x + 3x						2	- 7x						3	= -13
	î	1					2							3
	ì- 2x1 + 5x2 - 6x3 = -8
	ï	x1 + 7x2 - 5x3 = 4
14)	í	x1 + 7x2 - 5x3 = 4
14)	ï	4x + 2x					- x						= -12
	ï	4x + 2x				2	- x				3		= -12
	î	1				2					3
	ì3x - 9x				2	+ 8x						3	= 5
	ï	1			2							3
16)	í2x1 - 5x2 + 5x3 = 4
16)	ï	2x - x			+ x						= -4
	ï	2x - x		2	+ x				3		= -4
	î	1		2					3
	ì2x + 3x				2	+ x				3		= 4
	ï	1			2					3
18)	í4x1 - x2 + 5x3 = 6
18)	ïx - 2x				+ 4x							= 9
	ïx - 2x		2		+ 4x					3		= 9
	î	1	2							3
	ì x1 + 7x2 - 2x3 = 3
	ï	3x1 + 5x2 + x3 = 5
20)	í	3x1 + 5x2 + x3 = 5
20)	ï- 2x + 5x							- 5x							= -4
	ï- 2x + 5x						2	- 5x						3	= -4
	î	1					2							3

III. Найти множество решений однородной системы трех линейных уравне- ний с четырьмя неизвестными.

ì 3x1 - 5x2 - x3 - 2x4 = 0

ì 3x1 + 2x2 - x3 - 9x4 = 0

+ 3x3

- 7x4 = 0

+ 4x3 - 3x4 = 0

í8x1 - 6x2

í5x1 - 3x2

ï2x + 4x

+ 5x

- 3x = 0

ïx + 7x

- 6x

- 15x

= 0

ì 3x1 + x2 - 3x3 -10x4 = 0

ì x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

- 7x3

- 20x4 = 0

+ 2x3 -15x4 = 0

í4x1 + 5x2

í7x1 + 3x2

2x - 3x

+ x

= 0

5x - 3x

+ 4x

- 3x = 0

x + x

- 3x

- 6x = 0

x + 3x

+ 4x

- x = 0

í7x1 - 3x2 - 7x3 -18x4 = 0

í5x1 - 7x2 - 2x3 - 5x4 = 0

4x - x

- 5x

-12x

= 0

3x - 2x

+ x

- 3x

= 0

НГАВТ - Стр 35 из 57

	ìx + 4x				2	- 3x							3	- 9x							4	= 0
	ï		1		2								3								4
7)	í		3x2 - 7x3 - 10x4 = 0
7)	ï2x + 5x							+ x						- 8x = 0
	ï2x + 5x					2		+ x					3	- 8x = 0
	î			1		2							3								4
	ì			x1 + 3x3 + x4 = 0
	ï
9)	í 3x1 - 2x2 + 8x3 + 4x4 = 0
9)	ï- x + 2x								- 2x								- 2x							= 0
	ï- x + 2x						2		- 2x						3		- 2x						4	= 0
	î			1			2								3								4
		ì 3x1 - 8x2 - 7x3 - x4 = 0
		ï
11)		í- x1 + 7x2 - 5x3 -1,5x4 = 0
11)		ï		x + 6x							- 3x								+ 5x = 0
		ï		x + 6x					2		- 3x						3		+ 5x = 0
		î		1					2								3						4
		ì		x + 8x				2		- 6x						3		- 2x = 0
		ï		1				2								3							4
13)		í		- 2x1 - 3x2 + x3 - x4 = 0
13)		ï- 3x - 2x										- 4x								- 4x						= 0
		ï- 3x - 2x									2	- 4x							3	- 4x					4	= 0
		î		1							2								3						4
		ì- 3x1 - 9x2 + 25x3 + x4 = 0
		ï	2x1 + 4x2 + 2x3 - 3x4 = 0
15)		í	2x1 + 4x2 + 2x3 - 3x4 = 0
15)		ï		x - x					+ 9x								- 5x							= 0
		ï		x - x			2		+ 9x						3		- 5x						4	= 0
		î		1			2								3								4
		ì - x1 - 3x2 + x3 - 8x4 = 0
		ï
17)		í2x1 - 4x2 + 5x3 -12x4 = 0
17)		ï	4x + 2x								+ 3x								+ 2x = 0
		ï	4x + 2x						2		+ 3x						3		+ 2x = 0
		î		1					2								3							4
		ì 2x1 - 4x2 - x3 + x4 = 0
		ï		x1 - 7x2 - 6x3 - 3x4 = 0
19)		í		x1 - 7x2 - 6x3 - 3x4 = 0
19)		ï- 3x + x									- 4x								- 5x						= 0
		ï- 3x + x							2		- 4x						3		- 5x					4	= 0
		î		1					2								3							4

ì 2x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 0

8) ïí5x1 - 2x2 + 4x3 - 4x4 = 0

ïî x1 + 2x2 - 2x3 - 6x4 = 0 ì 2x1 - 2x2 + x3 - x4 = 0

10) ïí 2x1 - 3x2 + 5x3 + 4x4 = 0

ïî- 2x1 + x2 + 3x3 + 6x4 = 0

ì3x1 - x2 + 4x3 + 2x4 = 0

12)ïí- x1 - 2x2 - 7x3 -

ïî5x1 - 4x2 - x3 + x4 = 03x4 = 0

ì 3x1 + x2 + x3 - 3x4 = 0

14) ïíx1 + 3x2 - 2x3 + 2x4 = 0

ïî5x1 + 7x2 - 3x3 + x4 = 0 ì 3x1 - x2 + 2x3 + x4 = 0

16) ïí- 4x1 + 5x2 - 3x3 - x4 = 0

ïî 2x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 0 ì 2x1 + x2 - 4x3 + 2x4 = 0

18) ïí4x1 - 9x2 + 2x3 + 4x4 = 0

ïî - x1 + 5x2 - 3x3 - x4 = 0 ì x1 + 4x2 - 7x3 - 3x4 = 0

20) ïí- x1 - 2x2 + 3x3 - x4 = 0

ïî- x1 - 3x2 + 5x3 + x4 = 0

IV. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

	æ	2	8	5		æ	1	4	3
	ç	- 4 1		3		ç	- 8	2	- 5
1)	ç				2)	ç
	ç	8	- 2	- 6		ç	- 2	- 8	- 6

	è					è

	æ- 6			8		- 2
	ç		5	2		8
3)	ç		5	2		8
3)	ç		3	- 4		1
	ç
	è
	æ		1	4	- 3
	ç	- 8		2		5
5)	ç	- 8		2		5
5)	ç		2	8	- 6
	ç
	è
	æ	2 - 8				5
	ç	4		1	- 3
7)	ç	4		1	- 3
7)	ç	8		2	- 6
	ç
	è
	æ- 6			- 8		2
	ç	- 5		2		8
9)	ç	- 5		2		8
9)	ç	- 3		- 4		1
	ç
	è
		æ-1		- 2		3
		ç	1	- 2		1
11)		ç	1	- 2		1
11)		ç	1	3		- 4
		ç
		è
		æ- 4		3		1
		ç	1	- 2		1
13)		ç	1	- 2		1
13)		ç	3	- 2		- 1
		ç
		è
		æ- 3		- 2		1
		ç	- 2	- 3		-1
15)		ç	- 2	- 3		-1
15)		ç	4	3		-1
		ç
		è
		æ-1		3		4
		ç	-1	- 3		- 2
17)		ç	-1	- 3		- 2
17)		ç	1	- 2		- 3
		ç
		è
		æ- 4		1		3
		ç	3	- 1		- 2
19)		ç	3	- 1		- 2
19)		ç	1	1		- 2
		ç
		è

НГАВТ - Стр 36 из 57

	æ		2	- 8	- 5
	ç		4	1	3
4)	ç		4	1	3
4)	ç	- 8		- 2	- 6
	ç
	è
	æ- 6			- 2	8
	ç		3	1	- 4
6)	ç		3	1	- 4
6)	ç		5	8	2
	ç
	è
	æ		1	- 4	3
	ç		8	2	5
8)	ç		8	2	5
8)	ç	- 2		8	- 6
	ç
	è
		æ	2	- 5	- 8
		ç	- 8	- 6	- 2
10)		ç	- 8	- 6	- 2
10)		ç	4	3	1
		ç
		è
		æ- 2		1	1
		ç	- 2	-1	3
12)		ç	- 2	-1	3
12)		ç	3	1	- 4
		ç
		è
		æ-1		3	- 2
		ç	1	- 4	3
14)		ç	1	- 4	3
14)		ç	1	1	- 2
		ç
		è
		æ- 3		- 2	-1
		ç	- 2	- 3	1
16)		ç	- 2	- 3	1
16)		ç	3	4	-1
		ç
		è
		æ- 3		1	- 2
		ç	4	-1	3
18)		ç	4	-1	3
18)		ç	- 2	-1	- 3
		ç
		è
		æ-1		4	3
		ç	1	- 3	- 2
20)		ç	1	- 3	- 2
20)		ç	-1	- 2	- 3
		ç
		è

НГАВТ - Стр 37 из 57

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

I.Привести уравнение кривой второго порядка f ( x, y) = 0 к

каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ax + By + C = 0 . Построить графики кривой и прямой.

1. 2x2 − 4x − y + 3 = 0, 2x − y − 1 = 0 2. x − 2 y2 + 4 y − 3 = 0, x − 2 y + 1 = 0

3.	x2 − 2x − y + 2 = 0, x − y = 0
4.	x − y2 + 2 y − 2 = 0, x + y − 2 = 0
5.	x2 − 2x + y + 2 = 0, x − y − 2 = 0
6.	x + y2 − 2 y + 3 = 0, x + y + 1 = 0
7.	2x2 + 8x + y + 7 = 0, 2x + y + 3 = 0
8.	x + 2 y2 − 4 y + 4 = 0, x − 2 y + 4 = 0
9.	x2 + 4x + y + 3 = 0, x − y + 3 = 0


10.	x + 2 y2 + 4 y + 1 = 0,			x + 2 y + 1 = 0
11.	x2 − 2x + y − 3 = 0,			3x − y − 2 = 0
12.	y2 + x − 4 y + 6 = 0,		3x + 10 = 0
13.	2x2 + y2 − 12 x + 10 = 0,				x + y − 2 = 0
14.	x2 + 2x + y − 2 = 0,			2x − y + 4 = 0
15.	2x2 + 4x + y2 − 2 = 0,				2x + y + 2 = 0
16.	x2 + 2 y2 − 12 y + 10		= 0,		x + y − 3 = 0
17.	x2	+ y2 − 6x + 5 = 0,		2x + y − 6 = 0
18.	y2 + x + 4 y + 3 = 0,			x + 2 y + 2 = 0
19.	x2	+ 2 y2 + 8 y + 4 = 0,			5 y + 4 = 0
20.	x2	+ y2 − 4 y + 3 = 0,		3x + y − 3 = 0
II.	Требуется: 1) построить				по точкам график функции ρ = ρ (ϕ ) в

полярной системе координат. Значение функции вычислять в точках ϕk = πk / 8 ; 2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой

совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox - с полярной осью; 3) определить вид кривой.

НГАВТ - Стр 38 из 57

1. ρ = 6 cos(ϕ )

3. ρ = 2cos(ϕ )

5. ρ = −4 cos(ϕ )

7. ρ = 4 cos(ϕ )

9. ρ = 4 sin(ϕ )

11. ρ 2 = 2cos( 2ϕ )

13. ρ 2 = 4cos( 2ϕ )

15. ρ 2 = 6cos( 2ϕ ) 17. ρ 2 = −2sin(2ϕ )

19.ρ 2 = −4 sin(2ϕ )

III.Вычислить пределы функций, ного исчисления.

1. 1)

lim

3x2 − 5x

;

− 5x

+ x − 1

x → ∞

lim

ln(1 + sin2 x)

;

e x2

− 1

x → 0

2. 1)

lim

− 2x2

+ 7 x + 2

;

x2 − 5x

x → ∞

lim

arcsin( 4 − x)

;

ln( x − 3)

x → 4

3. 1)

lim

− 4x2 − x

;

+ 7 x −

x → ∞

2. ρ = −2sin(ϕ )

4. ρ = −4 sin(ϕ )

6. ρ = −2cos(ϕ )

8. ρ = −6 sin(ϕ )

10. ρ = 2sin(ϕ )

12. ρ 2 = 2sin(2ϕ )

14. ρ 2 = 4sin(2ϕ ) 16. ρ 2 = −2cos( 2ϕ ) 18. ρ 2 = −4cos( 2ϕ ) 20. ρ 2 = 6 sin(2ϕ )

не пользуясь средствами дифференциаль-

lim

ln( x + 4)

;

x → −2

ctg( x + 2)

lim

(3 + 2x)

;

x+7

x → −1

lim

2x − 1

;

x → 0,5 − 0 ln(0,5 − x)

lim (1 + 3x2 )

2 x 2

;

x → 0

2) lim

;

x → ∞ 1 − cos

НГАВТ - Стр 39 из 57

æ π

πx

tgç

lim

;

e x+1 - 1

x ® -1

4. 1)

lim

2x2 - 2x + 5

;

+ 3x

x ® ¥

lim

ln(1 - sin2 3x)

;

x ® 0

5. 1)

lim

- x2 - x

;

+ 3x +

x ® ¥

lim

tg 2 (π - 3x)

;

(3x - π )2

x ® π

6. 1)

lim

- 3x2 + 5x + 2

;

+ 4x

x ® ¥

æ πx

ctgç

lim

;

x - 1

x ® 1

7. 1)

lim

- 3x2 + 5x

;

+ 4x + 3

x ® ¥ x

lim

e5 x - 1

;

ln(1 - 3x)

x ® 0

(5 - x)

−

lim

x−4 ;

x ® 4

lim

ln(1 - x2 )

;

x ® 1 - 0 sin(3x - 1)

lim

(7 + 2x)

;

x+3

x ® -3

2) lim

e x−3

;

- 5x

x ® 3

lim

(2x - 3) −

;

4− 2 x

x ® 2

lim

2x +1

ö ;

x ® 0

lnç1

lim

(2x - 3) −

;

4− 2 x

x ® 2

sin

lim

;

+ 4

x ® ¥

lim

(9 + 2x)

;

x+4

x ® -4

НГАВТ - Стр 40 из 57

8. 1)

lim

5x2 + 6x - 1

;

+ 3x

x ® ¥

lim

1 - tgx

;

x ®

sinç

- x ÷

9. 1)

lim

- 7 x2

+ 4x

;

- x +

x ® ¥

lim

2x + 4

;

x ® -2 arcsin (x + 2)

10. 1)

lim

6x2 - 3x - 1

;

- 4x

x ® ¥

1 - cos 6x

lim

;

e−x2 - 1

x ® 0

11. 1)

lim

cos( x - 3) + 2x

;

x ® -3

x + 3

lim

6x2 + 5x + 1

;

- x

- 1

x ® 0,5

12. 1)

lim

x - 2

;

tgπx

x ® 1

tgç

2x ÷

lim

;

sin 5x

x ® 0

2x)

−

lim

(-3 -

x + 2 ;

x ® -2

lim

ctg (x - 3)

;

x ® 3

(2 - x)

−

lim

x −1 ;

x ® 1

lim

x2 + 4x - 3

;

tg( x + 1)

x ® -1

lim

(4 - x)

;

6− 2 x

x ® 3

lim

x2 - 4

;

3x +

x ® ¥

lim

(5 - x)

;

x−4

x ® 4

lim

5x2 - 3x + 1

;

2x + 7

x ® ¥

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>