discr_math

51

3 {(x, y)| x, y N и x y}.

Отношение 1

-рефлексивно,

-не является симметричным (например, число 2 – делитель числа 4, но число 4 не является делителем числа 2 ),

-антисимметрично (действительно, если x k y и y mx , где x,y,k,m – натуральные числа, то y mk y или y(mk 1) 0.

Следовательно mk 1, откуда получим m k 1. В резуль-

тате из (x, y) 1 и (y, x) 1 следует равенство x y ),

-не является сильно антисимметричным ,

-транзитивно.

Отношение 2

-рефлексивно,

-симметрично,

-не является транзитивным (например, числа x 21 и y 35

имеют общий делитель 7, а числа y 35 и z 55 имеют об-

щий делитель 5, т.е. пары (x, y) 2 и (x,z) 2 . Однако

числа x 21 и z 55 не имеют общего делителя, отличного

от 1, т.е. пара (x,z) ).

Отношение 3

-антирефлексивно,

-сильно антисимметрично,

-транзитивно.

52

Композиция бинарных отношений

По аналогии с композицией соответствий композицией двух бинарных отношений X X и X X называют отношение

{(x,z)| (x, y) и (y,z) }.

Роль единицы в композиции отношений выполняет тождественное отношение e e . В терминах композиции отношений за-

дают степень отношения k (k раз), при этом пола-

гают, что 0 e.

Используя композицию отношений можно сформулировать

следующий критерий транзитивности бинарного отношения .

Теорема 1.4. Отношение транзитивно тогда и только тогда,

когда композиция .

► Необходимость. Предположим, что отношение транзитивно, и

элемент композиции - пара (x, z) . По определению компози-

(x, y) , (y,z) . По определению композиции отношений пара

53

Замыкание отношений

Если исходное отношение не обладает требуемыми «хорошими» свойствами, например, рефлексивностью или транзитивностью, то можно построить новое отношение, в каком-то смысле «близкое» к

исходному и обладающее требуемыми свойствами.

Определение 1.42. Пусть и ~ - некоторые отношения на . От-

X

ношение ~ называется замыканием отношения относительно

некоторого свойства A, если выполняются следующие условия:

отношение ~ обладает свойством ;

A

~

;

для любого отношения , обладающего свойством A , выполняется

вложение ~ .

Иными словами, замыкание ~ отношения относительно

свойства A — это «наименьшее» (в смысле вложения множеств) от-

ношение, содержащее и обладающее свойством A.

Очевидно, для любого отношения на X рефлексивное за-

мыкание этого отношения можно получить с помощью операции объединения исходного и единичного отношений:

eX 0 .

Следующая теорема которую мы приведем без доказательст-

ва характеризует транзитивное замыкание отношения .

54

Теорема 1.5. Транзитивное замыкание произвольного отношения

имеет следующий вид: k .

k1

Сучетом этой теоремы рефлексивное и транзитивное замы-

кание отношения можно задать равенством

k .

k 0

Пример 1.33. Транзитивное замыкание отношения «быть сыном

(дочерью)» является отношение «быть прямым потомком», пред-

ставляющее собой объединение отношений «быть сыном (доче-

рью)», «быть внуком (внучкой)», «быть правнуком (правнучкой)» и

так далее.

Пример 1.34. Пусть отношение задано на множестве натураль-

ние {(x, y)| y x} — рефлексивное и транзитивное замыкание отношения .

Алгоритм Уоршолла

Предположим, что бинарное отношение задано на конечном множестве X некоторой булевой матрицей M . Алгоритм Уоршол-

ла представляет собой один из быстрых способов построения тран-

55

зитивного замыкания отношения . При этом все вычисления

проводят на элементах булевой матрицы M отношения.

Для заданной квадратной матрицы M порядка n процедура

вычисления транзитивного замыкания состоит в следующем:

1) просматривают последовательно все элементы mi j (i j , i 1, ,n; j 1, ,n), расположенные вне главной диагонали мат-

рицы;

2) если mi j 1, то все элементы i -ой строки матрицы заме-

Рис. 1.20

Заданное отношение не является реф-

лексивным. Оно также не транзитивно, поскольку, например, пары

56 (4,2) и (2,3) принадлежат , а пара (4,3) не принадлежит . По-

строим транзитивное замыкание отношения .

Шаг 1. Элемент m12 1. Все элементы первой строки матрицы M

заменяем дизъюнкциями соответствующих элементов 1-ой и 2-ой строк. При этом 2-ая, 3-я, 4-ая строки матрицы сохраняются без из-

менений. Мы получим матрицу M1:

Шаг 2. В матрице M1 элемент m13 1. Все элементы первой строки матрицы M1 заменяем дизъюнкциями соответствующих элементов

1-ой и 3-ей строк (в дальнейшем мы будем говорить, что первая строка заменяется дизъюнкцией 1-ой и 3-ей строк). Вычисление всех указанных дизъюнкций не приводит к изменению матрицы M1, по-

этому для новой матрицы M2 запишем равенство M2 M1.

Шаг 3. Элемент m21 матрицы M2 равен 1. Все элементы 2-ой стро-

ки матрицы M2 заменяем дизъюнкциями соответствующих элемен-

тов 2-ой и 1-ой строк. Получаем новую матрицу:

Очевидно, что для заданного отношения алгоритм Уоршолла по-

Отношение эквивалентности

Определение 1.43. Отношение называют отношением эквива-

лентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Для отношения эквивалентности наряду с записью (x, y)

или x y обычно используют обозначение x~ y .

Пример 1.36. Отношение равенства на множестве действительных

чисел {(x, y)| x y , x, y R } является простейшим отно-

шением эквивалентности. Очевидно, для любого x R , x x (реф-

59

Пример 1.38. Отношение параллельности прямых на плоскости яв-

ляется отношением эквивалентности.

Пример 1.39. На множестве студентов МГТУ «МАМИ» введем от-

ношение эквивалентности: x~ y , если студенты x и y учатся в од-

ной группе. При этом полагают, что студент x учится в одной груп-

пе с самим собой ( x~ x).

Пример 1.40. На множестве Z целых чисел выберем некоторое

(фиксированное) число m 1 и рассмотрим отношение сравнения по модулю m. Для любых двух целых чисел x и y полагаем, что x~ y ,

если разность x y делится на m без остатка, т.е. x y mk для некоторого k Z . Заданное отношение, очевидно, рефлексивно и

симметрично. Проверим транзитивность отношения сравнения. Если пары (x, y) и (y, z) принадлежат отношению, то

ношение транзитивно. Традиционно для отношения сравнения по модулю m используют обозначение x y(modm) , которое читается как

«x равен y по модулю m».

Пусть есть отношение эквивалентности на множестве X .

Определение 1.44. Множество элементов из X , эквивалентных некоторому элементу x X , называется классом эквивалентности

(или классом смежности) элемента x по отношению . Класс эк-

60

вивалентности элемента x обозначим символом [x], так что, со-

гласно определению, [x] {y| y x , y X }.

Пример 1.41. Для отношения равенства на R (пример 1.36) класс эквивалентности любого элемента x R совпадает с одноэлемент-

ным множеством [x] {x}.

Пример 1.42. Отношение {(x, y)| x2 y2 , x, y R }порождает,

например, следующие классы эквивалентности элементов, перечис-

ленных в квадратных скобках:

Пример 1.43. Фактор-множество R / состоит из одноэлементных множеств и имеет вид {{x} | x R }.

Пример 1.44. Множество всех студенческих групп МГТУ «МАМИ» является фактор-множеством следующего отношения эквивалентно-

сти: x~ y , если студенты x и y учатся в одной группе.

Пример 1.45. Рассмотрим отношение сравнения x y(mod 5). Для

этого отношения эквивалентности перечислим все классы эквива-

лентности: