discr_math

60

Теперь вычислим коэффициенты полинома Жегалкина для функции f (x1,x2,x3), заданной таблицей 3.27.

Поскольку f (0,0,0) 1, коэффициент a0 1;

f (1,0,0) a1 a0 a1 1 0 , следовательно, a1 1;

f (0,1,0) a2 a0 a2 1 1, поэтому a2 0 ;

f (1,1,0) a12 a1 a2 a0 a12 1 0 1 a12 0 1,

поэтому a12 1;

f (1,0,1) a13 a1 a3 a0 a13 1 1 1 a13 1 0 ,

поэтому a13 1;

f (0,1,1) a23 a 2 a3 a0 a23 0 1 1 a23 0 0,

следовательно, a23 0;

f (1,1,1) a123 a12 a13 a23 a1 a2 a3 a0

a123 1 1 0 1 0 1 1 a123 1 1, поэтому a123 0 .

Врезультате

f (x1,x2,x3) x1x2 x1x3 x1 x3 1 .

61

Наконец, отметим без доказательства следующую теорему.

Теорема 3.9. Любая логическая функция может быть представле-

на полиномом Жегалкина, причем такое представление единствен-

но.

Классы Поста

Критерий полноты любой системы логических функций содер-

жит теорема Поста. Но прежде чем мы приведем формулировку этой теоремы, рассмотрим некоторые множества функций, известные как

классы Поста.

1.Пусть f (x1, ,xn) есть логическая функция n переменных,

удовлетворяющая условию f (0, ,0) 0. Такие функции на-

зываются функциями, сохраняющими ноль. Обозначим сим-

волом P0(n) множество функций n переменных, сохра-

няющих ноль. Классом Поста P0 называется множество

функций P0 P0(n) .

n 1

Пример 3.41. Перечислим некоторые известные функции с указани-

ем принадлежит ли, или не принадлежит данная функция классу

P0 :

62

2.По аналогии с множеством P0(n) определяют множество

P1(n) как множество логических функций n переменных,

сохраняющих единицу:

Классом Поста S называется множество функций

S Sn .

n 0

Примерами простейших самодвойственных функций являются функции x и x. Логические постоянные 0 и 1, функции x1 x2 и

x1 x2 самодвойственными не являются.

4.Классом Поста L называется класс линейных функций.

Каждая линейная логическая функция n переменных пред-

ставляется линейным полиномом Жегалкина (3.27). Если мы

63

обозначим символом Ln множество функций вида (3.27), то

класс L есть объединение таких множеств L Ln .

n 0

5. Пусть ( 1, , n) Bn , где B {0,1}. На множестве Bn

введем отношение порядка по Парето:

Логическая функция n переменных f (x1, ,xn) на-

зывается монотонной, если для любых , Bn из условия

ными не являются. Обозначим множество всех монотонных функций n переменных символом Mn . Классом Поста M

называется множество всех монотонных логических функ-

ций M M n .

n 0

Теперь мы можем сформулировать теорему Поста.

Теорема 3.10. Система логических функций является полной то-

гда и только тогда, когда для каждого из классов Поста P0 , P1 , S ,

64

L, M в системе найдется функция, не принадлежащая данно-

Полином Жегалкина функции f (x, y) имеет вид:

f (x, y) не принадлежит классу монотонных функций.

Таким образом, данная функция не принадлежит каждому из клас-

сов Поста и, согласно теореме 3.10, система 6 { } является пол-

ной.

65

Логика предикатов

Наряду с высказываниями в логике существуют предполо-

жения, истинность которых зависит от некоторых параметров. На-

f :M1 M2 B, где M1 есть множество городов, M2 – множест-

во стран. В результате значение предиката на упорядоченной паре

(Москва, Россия) равно 1 (истина), а значение предиката на упорядо-

ченной паре (Рим, Япония) равно 0 (ложь).

66

Очевидно, любой предикат представляет собой некоторое обобще-

ние логической функции n переменных f :Bn B .

Высказывания принято считать 0-местными предикатами. Пре-

дикаты обозначают большими буквами латинского алфавита и над

предикатами можно производить обычные логические операции.

Пример 3.44. Пусть M N, одноместный предикат P(x) "x 2"

принимает значение «истина», если x 3, и «ложь», если x 1.

Пример 3.45. С помощью одноместных предикатов P(x) : « x де-

лится на 3» и Q(x): « x делится на 5», заданных на N, можно обра-

зовать новый предикат P(x) Q(x), который означает, что «нату-

ральное число x делится на 3 и 5».

Определение 3.19. Областью истинности предиката называют подмножество E M n такое, что для любого упорядоченного на-

бора (a1,a2, ,an ) E значение P(a1,a2 , ,an ) 1.

Пример 3.46. Пусть M R . Область истинности одноместного пре-

диката "x2 4x 3 0" совпадает с множеством E {1,3}.

Пример 3.47. Если M R2 , то область истинности предиката

"x2 y2 1" представляет собой круг единичного радиуса с центром

вточке O(0,0).

67

Помимо логических операций для предикатов вводят опера-

называется связыванием переменной x или навешиванием квантора

на переменную x (на предикат P(x) ). Переменная x, на которую навешен квантор, называется связанной , не связанная квантором переменная называется свободной.

Естественно, кванторы можно навешивать и на многомест-

ные предикаты. Каждое навешивание квантора на многоместный предикат уменьшает количество свободных переменных и увеличи-

вает количество связанных.

Пример 3.48. Пусть P(x) ─ предикат « x─ четное число». Если

M {2,4,6,8,9}, то высказывание x P(x) ложно, а высказывание

68

Пример 3.49. Пусть Q(x1,x2 ) есть двуместный предикат «нату-

ральное число x1 делится (без остатка) на натуральное число x2 »,

заданный на прямом произведении N N . Тогда

Из сравнения соотношений 7 и 8 следует, что разноименные кванто-

ры, вообще говоря, не коммутируют.

Пример 3.50. Пусть M [0;1) и двуместный предикат P(x, y)

« x y» задан на M 2 . Тогда высказывание x y P(x, y) тождест-

венно ложно, а высказывание y x P(x, y) тождественно истинно.

В логике предикатов можно ввести алфавит и определить понятие формулы.

Алфавит логики предикатов содержит следующие символы:

символы переменных x1,x2, ,xn , … ;

символы предикатов P , Q , R, S , … ;

логические символы , , , , , … ;

символы кванторов , ;

скобки и запятую ) , ( .

Слово в алфавите логики предикатов называется формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям.

4.Пусть A – формула, содержащая свободную переменную x.

Выражения x A и x A есть формулы, причем в любой фор-

муле переменная x не может быть одновременно связана и сво-

бодна.

5.Других формул нет.

Определение 3.20. Предикаты P(x1, , xn ) и Q(x1, ,xn ) , задан-

ные на одном и том же предметном множестве M n , называются

равносильными (запись P Q ), если P( 1, , n) Q( 1, , n) для

любого набора ( 1, , n) Mn .

Пример 3.51. Для любых двух предикатов P , Q и любого предмет-

ного множества справедлива равносильность:

P(x1, ,xn ) Q(x1, ,xn ) P(x1, ,xn) Q(x1, ,xn) .

Нетрудно догадаться, что все наиболее известные соотно-

шения равносильности по форме записи совпадают с основными законами логики высказываний. Следует лишь заменить символы