discr_math

10

Определение 3.6. Выражение называется логической формулой

(пропозициональной формулой), если это выражение удовлетворяет

Пример 3.5. Формализовать высказывание: «если самолет вылетел согласно расписанию и по маршруту следования были хорошие ме-

11

теоусловия, то самолет прилетает в аэропорт назначения по распи-

санию».

Перечислим следующие высказывания: p – «самолет выле-

тел по расписанию», высказывание q – «по маршруту следования

были хорошие метеоусловия», r – «самолет прилетает в аэропорт

назначения по расписанию». Тогда исходное высказывание можно

записать в виде следующей логической формулы: p q r .

Пример 3.6. Формализовать высказывание: «неверно, что число 100

делится на 11 и делится на 3».

Пусть p есть высказывание «100 делится на 11», q – выска-

зывание «100 делится на 3». Исходное высказывание можно запи-

сать в виде p q.

Мы уже видели, что для выяснения значения истинности любой формулы F(p1, p2 , , pn ) в эту формулу подставляют упо-

рядоченный набор значений истинности высказываний

p1, p2 , , pn . Каждый такой конкретный набор значений истинно-

сти (т.е. элемент множества Bn , где B {0,1}) называется интер-

претацией формулы F .

Определение 3.7. Формула F(p1, p2 , , pn ) называется общезна-

чимой (или тавтологией), если она истинна в любой интерпретации.

Для обозначения общезначимой формулы используют за-

пись F 1.

Пример 3.7. p p 1, что подтверждается таблицей 3.7.

12

Определение 3.8. Формула F(p1, p2 , , pn ) называется противо-

речивой (или контрадикцией), если она ложна в любой интерпрета-

ции. Для обозначения противоречивой формулы используют запись

F 0.

Пример 3.8. p p 0, что соответствует таблице 3.8.

Используя тавтологию и контрадикцию, мы получаем возможность оперировать формулами, содержащими символы 1 и 0 , — таковы,

например, формулы (p (q 1)) или ((p q) 0).

13

Определение 3.10. Формула G(q1,q2 , ,qn ) логически следует из формулы F(p1, p2 , , pn ) (запись F G), если формула G имеет

значение «истина» во всех тех интерпретациях, при которых форму-

ла F имеет значение «истина».

Следующая теорема, которую мы приводим без доказатель-

ства, задает критерий справедливости логического следования.

Теорема 3.1. Формула G логически следует из формулы F в том и только в том случае, когда импликация F G является общезна-

чимой, т.е. (F G) 1.

сильными), если их эквиваленция есть тавтология при любых набо-

рах значений истинности высказываний pi ,qi , i 1, ,n .

Для равносильных формул F и G обычно используют за-

пись F G . Согласно определению 3.11, равносильность двух фор-

мул означает, что F G и одновременно G F .

Пример 3.10. (p q) (p q) . Две указанные формулы равно-

сильны, так как их эквиваленция (p q) (p q) есть тавтология

(табл. 3.10).

Нетрудно заметить, что две формулы являются равносиль-

ными, если их логические значения совпадают на любых одинако-

вых упорядоченных наборах значений истинности высказываний,

14

входящих в состав формул (сравните четвертый и последний столб-

цы табл. 3.10).

Табл. 3.10

Отметим, наконец, что сама форма записи логических фор-

мул допускает существенные упрощения. Мы пока лишь условимся опускать внешние скобки в обозначениях формул. Другие возмож-

ные упрощения будут обсуждаться в следующем разделе.

Основные законы логики

Общезначимые формулы выполняют особую роль в математической логике, так как они отражают ее основные законы.

15

4) законы идемпотентности:

p p p , p p p ; 5) свойства «логических постоянных» 0 и 1:

6) закон двойного отрицания:

┐ (┐ p) p или (p) p ;

7) законы противоречия и исключенного третьего:

► p (p q) (p 0) (p q) p (0 q) p 0 p . ◄

При выводе первого закона поглощения мы над каждым тождеством отметили номер закона, в силу которого данное тождество справед-

ливо.

10) закон склеивания:

(p q) (p q) p.

3 7 5

► (p q) (p q) p (q q) p 1 p ◄

16

Следующие четыре закона выражают импликацию и эквивален-

цию через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание либо, наоборот,

выражают конъюнкцию и дизъюнкцию через импликацию и отри-

цание:

11)p q p q ;

12)p q (p q) (p q) ;

13)p q p q ;

14)p q (p q) .

Перечисленные законы не исчерпывают всех законов логи-

ки, но в рамках нашего изложения мы ограничимся этими законами.

Любое из тождеств 1–14 можно легко подтвердить, если построить таблицу истинности и убедиться в тавтологичности соответствую-

щей эквивалентности. Например, закон p q p q подтвержда-

ется таблицей истинности 3.10 (которую мы построили в предыду-

щем разделе), а обоснованием одного из законов де Моргана может служить следующая таблица 3.11.

Пример 3.11. Предположим, что три стрелка стреляют по мишеням.

Формализовать высказывание q : «хотя бы один из трех стрелков попал в мишень», используя высказывания: p1, p2 , p3 – «первый

17

стрелок попал в мишень», «второй стрелок попал в мишень», «тре-

q (p1 p2 p3 ). Последняя запись обычно используется в теории вероятностей для подсчета вероятности события q .

Рассмотрим еще один классический пример.

Пример 3.12. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Известно, что грабители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что пре-

ступники были на синем «Бьюике», Джонс сказал, что это был чер-

ный «Крайслер». Наконец, Смит утверждал, что это был «Форд», и

ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из трех обвиняемых указал правильно либо толь-

ко марку автомобиля, либо только его цвет. Можно ли из приведен-

ных высказываний сделать однозначный вывод о цвете и марке ав-

томобиля?

Обозначим символами p , q и r высказывания: автомобиль имел марку «Бьюик»», «автомобиль имел марку «Крайслер»» и «ав-

томобиль имел марку «Форд»» соответственно. Символом u обо-

значим высказывание: «автомобиль был синего цвета», v – «… чер-

ного цвета». В этих обозначениях результат опроса обвиняемых

18

сводится к тому, что три следующих высказывания являются истин-

ными: p u , q v, r u . Конъюнкция этих высказываний

(p u) (q v) (r u)

также является истинной. Теперь преобразуем эту формулу. В пре-

образованиях воспользуемся законами дистрибутивности и тем об-

стоятельством, что конъюнкции p q, q r , p r, u v заведомо ложны – один и тот же автомобиль не может иметь разные марки или два цвета. В результате мы придем к следующему истинному высказыванию p v u , которое можно прочитать следующим об-

разом: «автомобиль имел марку «Бьюик», был черным, не синим».

Таким образом, можно сделать вывод – преступники скрылись на черном «Бьюике».

Замечание. Если формула содержит достаточно большое количест-

во символов и связок, то она становится трудночитаемой. В этом случае оговаривают некоторые соглашения об упрощении записи формул:

мы уже отмечали, что наружные скобки в записи можно опус-

кать;

условимся, что конъюнкция выполняется «раньше» дизъ-

юнкции (говорят, что конъюнкция «сильнее» дизъюнкции),

а обе они «сильнее» импликации и эквиваленции. Таким обра-

зом, например, в записи a b c (без употребления скобок)

сначала выполняется конъюнкция, а затем дизъюнкция. Срав-

ните эту запись с выражением 2 3 4;

19

в тех случаях, когда это не вызывает разночтений, символ конъюнкции можно заменить символом • или вообще ис-

ключить из записи.

Например, формула (((p q) r) r) (p q) r допускает

следующее упрощение формы записи: pqr r (p q)r .

Из известных эквивалентных формул можно получать новые экви-

валентные формулы с помощью следующих правил.

Правило подстановки. Если вместо некоторого высказыва-

ния p , входящего в общезначимую формулу, подставить любую

другую формулу F во все позиции, содержащие символ p , то по-

лучим новое эквивалентное соотношение.

Пример 3.13. Подставляя в формулу p q p q вместо q выра-

жение q r , получим новую общезначимую формулу: p (q r)) p (q r).

Пример 3.14. Импликация p q q является общезначимой (тав-

тологией). Подставляя вместо p выражение p (q r), а вместо q формулу q r , мы получим новую тавтологию

(p (q r)) q r q r .

Правило замены. Если логическая формула F содержит не-

которую подформулу F1 , то эту подформулу можно заменить на

эквивалентную формулу F2 F1 .