discr_math
.pdf31
{(a,1 0);(b,1 0);(c,0 1);(d,1 1);(e,0 0)}
{(a,1);(b,1);(c,1);(d,1);(e,0)}.
Вид результата вычислений позволяет утверждать, что объединение
A B содержит элементы a,b,c,d , и только эти элементы. С уче-
том следующего равенства:
A B (x) A(x) B (x)
{(a,1 0);(b,1 0);(c,0 1);(d,1 1);(e,0 0)}
{(a,0);(b,0);(c,0);(d,1);(e,0)}
мы можем сделать вывод о том, что пересечение A B содержит
только один элемент d . Нетрудно заметить, что вычисление значе-
ний характеристической функции позволяет подтверждать различ-
ные равенства или вложения в теории множеств.
Определение 1.26. Два функциональных отображения |
f1 : X1 Y1 и |
|||
f2 : X2 Y2 равны, |
если |
одновременно |
выполнены |
следующие |
требования: |
|
|
|
|
X1 X2 , Y1 |
Y2 |
и для x X1, |
f1 x f2 x . |
Функциональное отображение f : R R обычно кратко назы-
вают функцией, и это классическое понятие числовой функции од-
ной вещественной переменной, с которым Вы неоднократно встре-
чались в курсе математического анализа.
Очень часто вместо слов «однозначное (функциональное) ото-
бражение» употребляют для краткости только одно слово «отобра-
жение». В дальнейшем мы также будем всюду использовать тер-
32
мин «отображение», предполагая каждый раз, что речь идет о функциональном (однозначном) отображении.
Свойства отображений
Теорема 1.1. |
Пусть задано отображение |
|
f : X Y, |
и подмножества A1, A2 X, |
B1,B2 Y |
Тогда справедливы следующие соотношения: |
|
|
1) если A1 A2 X, то f A1 f A2 ; |
|
2)f A1 A2 f A1 f A2 ;
3)f A1 A2 f A1 f A2 ;
4) если B B |
2 |
Y , то |
f 1 B |
f 1 B ; |
1 |
|
1 |
2 |
5)f 1 B1 B2 f 1 B1 f 1 B2 ;
6)f 1 B1 B2 f 1 B1 f 1 B2 .
Посмотрим, как доказываются, например, второе и шестое из пере-
численных свойств.
Доказательство свойства 2.
► Пусть |
y f A |
A , тогда |
f 1 y A |
A |
и |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
f 1 y A |
A , следовательно, |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
f 1 y A1 f 1 y A2 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
и тогда |
f 1 y A |
или |
f |
1 y A |
. Если мы предполо- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
жим, |
что |
|
|
f 1 y A , то |
y f A |
и |
y f A f A . |
Если |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
же f 1 y A |
, |
то y f A и поэтому |
y f A f A . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Обратно, |
|
пусть |
y f A1 f A2 . Тогда |
y f A1 |
или |
y f A2 , |
||||||||||||||||
т.е. |
f 1 y A |
|
|
или |
f 1 |
y A . |
Последнее |
означает, |
что |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1 y A A , и поэтому y f A A . ◄ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство свойства 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
► x f 1 B B |
2 |
f x B B f x B |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
и f x B |
2 |
x f 1 B и x f 1 B |
2 |
x f 1 B f |
1 B |
2 |
. ◄ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Следующие |
|
два |
|
|
примера |
объясняют, почему |
вложение |
|||||||||||||||
f A1 |
A2 f A1 f A2 |
является строгим, т.е. его нельзя заме- |
||||||||||||||||||||
нить равенством. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример |
|
1.21. |
|
Рассмотрим |
отображение |
x tgx, |
X Y R, |
|||||||||||||||
A 0; , A |
; |
5 |
, |
f A f A |
0,1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда A1 A2 и f A1 A2 f 0,1 f A1 f A2 .
Пример |
1.22. Пусть |
f x 1 для |
любого |
x R, |
A1 2,3 , |
A2 5,6 , |
f A1 1 , |
f A2 1 и |
так как |
A1 A2 |
, то |
f A1 A2 f 1 f A1 f A2 .
34
Сюръективные, инъективные и биективные отображения
Определение 1.27. Отображение |
f : X Y |
называется сюръектив- |
||||
ным (сюръекцией или отображением на |
множество Y ), |
если |
||||
Im f |
Y . Другими словами, f |
сюръективно, |
если каждый элемент |
|||
y Y |
имеет хотя бы один прообраз, т.е. y Y |
x X : y f x . |
||||
Определение 1.28. Отображение |
f : X Y |
называется инъектив- |
||||
ным |
(или инъекцией), если |
из |
условия |
x1 x2 следует, |
что |
f x1 f x2 , т.е. различные элементы множества X должны иметь
различные образы.
Из определения следует, что условие инъективности можно сформулировать и по-другому: отображение инъективно, если тре-
бование |
y1 y2 |
приводит |
к равенству x1 x2 . Действительно, |
||
предполагая от |
противного, |
что отображение f : X Y инъек- |
|||
тивно, y1 y2 , |
но |
x1 x2 , мы приходим к противоречию с исход- |
|||
ным определением, поскольку из x1 x2 , |
в силу инъективности, |
||||
следует, что f x1 y1 y2 f x2 . |
|
||||
Определение 1.29. Отображение f : X Y |
называется биектив- |
||||
ным (или |
биекцией), если оно одновременно сюръективно и инъек- |
тивно. Биективное отображение часто еще называют взаимно-одно-
значным отображением.
35
Пример 1.23. Рассмотрим четыре отображения f , g, , , представ-
ленные на рис. 1.15.
f g
a |
1 |
a |
1 |
b |
2 |
b |
2 |
с |
3 |
с |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
a |
1 |
b |
2 |
b |
2 |
с |
3 |
с |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
Рис. 1.15 |
|
Отображение f не является ни сюръективным (так как элементы
2 и 4 не |
имеют прообразов), ни инъективным, так |
как |
f b f c 3 . |
|
|
Отображение |
g сюръективно, но не является инъективным, |
– |
инъективное отображение, которое не является сюръекцией. Ото-
бражение – биективно или взаимно-однозначно.
36
Пример 1.24. Отображения
а) x x2 , |
X R, Y R ; |
|
б) x x2 , |
X R, Y R , |
( R – множество положитель- |
ных действительных чисел); |
|
|
в) x x2 , |
X R , Y R |
|
существенно отличаются друг от друга. Первое из них не является ни сюръективным, ни инъективным, второе – сюръективно, но не инъективно, третье – биективно.
Композиция отображений
Определение 1.30. Пусть заданы два отображения f : X Y и
g :Y Z . Композицией отображений (сложным отображением,
суперпозицией отображений) называют |
отображение : X Z , |
определяемое условием |
|
x g f x g f x , |
x X . |
Из двух указанных равенств первое задает обозначение композиции
( g f ), а второе определяет композицию в произвольной точке множества X .
Замечание. Запись g f производится в порядке, обратном тому, в
f g
котором проводят сами операции X Y Z . В математике принято правило, согласно которому в композиции отображений
37
g f необходимо начинать действия с отображения f , располо-
женного справа.
Действие композиции двух отображений можно наглядно пред-
ставить в виде диаграммы на рис. 1.16.
Пример 1.25. Пусть X 0; 2 ,Y 0,2 , Z 0,6 и заданы два ото-
бражения f x sin x : X Y ; g y y2 : Y Z . Их композиция
g f x g f x sin2 x
является отображением из X в Z .
g f
f |
Y |
g |
Z
X
x |
f x |
g f x |
Рис. 1.16
Теорема 1.2. Композиция отображений ассоциативна, т.е. для за-
данных трех отображений f : X Y , g :Y Z , h: Z V спра-
ведливо равенство h g f h g f .
► h g f x h g f x h g f x h g f x . ◄
38
Единичное отображение. Обратное отображение
Определение 1.31. Единичным (или тождественным) отображени-
ем называется отображение eX : X X , которое переводит каждый элемент x X в себя:
eX x x, x X .
Очевидно, для любого отображения f : X Y выполняются равен-
ства
f eX f и eY f f ,
т.е. единичные отображения играют роль нейтральных элементов в композиции отображений.
Пусть заданы два отображения |
f : X Y и g :Y X такие, что |
|
определены обе композиции f g |
и g f . |
|
Определение 1.32. Отображение |
g называется обратным к ото- |
|
бражению f , если одновременно выполняются два условия9: |
||
g f eX и f g eY . |
(1.1) |
|
Обратное отображение обычно обозначают символом f 1. |
||
Пример 1.26. Пусть отображение |
y f (x):R R |
задано равенст- |
вом y ex . Тогда отображение x g(y):R R, |
заданное прави- |
9 Когда справедливо только одно из двух условий, например, g f eX ,
то g называют левым обратным отображением (соответственно, если вы-
полнено только второе равенство f g eY , то g называют правым обратным отображением).
39
лом x lny , является обратным к отображению f (x), поскольку выполнены оба требования (1.1):
g f (x) lnex x eX ,
f g (y) eln y y eY .
Пример 1.27. Отображение y f (x): R R , заданное равенст-
вом y f (x) x2 , имеет обратное: x y : R R . Однако ото-
бражение f :N N , заданное соотношением n n2 , имеет только
левое обратное отображение, а правого обратного не имеет. Дей-
ствительно, предположим, что обратное отображение имеет вид
g(n) n . Тогда, если m n2 и n m , то g f n2 n eN .
Но при этом композиция f g (m)2 не определена на N , по-
скольку число m не обязательно натурально (например, число 3
иррационально).
Следующая теорема задает условие, при котором существует об-
ратное отображение.
Теорема 1.3. Отображение f : X Y имеет обратное тогда и только тогда, когда f является взаимно-однозначным (биектив-
ным) отображением.
Прежде чем привести доказательство теоремы, рассмотрим вспо-
могательное утверждение – лемму.
40
Лемма 1.1. Если для композиции двух отображений выполняется равенство g f eX , то g является сюръекцией, а f – инъекцией.
Доказательство леммы.
► Сначала докажем, что отображение g :Y X сюръективно. Для этого, в соответствии с определением сюръективного отображения,
необходимо показать, что для любого элемента |
x X найдется эле- |
||||||
мент y Y такой, |
что x g y . Запишем цепочку равенств: |
||||||
|
|
|
x eX x g f x g f x . |
|
(1.2) |
||
Поскольку |
f |
является отображением, выражение f x |
определено |
||||
для любого элемента x X , и если мы введем в (1.2) |
обозначение |
||||||
y f x , то получим: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
y f x : |
x g y , |
|
|
т.е. g – сюръективно. |
|
|
|
|
|||
Покажем, |
что |
отображение f : X Y |
инъективно. Пусть |
||||
x1,x2 X |
и |
f x1 f x2 . Тогда |
|
|
|
x1 eX x1 g f x1 g f x1 g f x2 g f x2 eX x2 x2 .
В результате мы получили, что из условия f x1 f x2 следует,
равенство x1 x2 , поэтому f инъективно.◄
Доказательство теоремы 1.3.
► Предположим сначала, что отображение f : X Y имеет обрат-
ное f 1 :Y X . Тогда из равенства f 1 f eX , согласно лемме,