discr_math
.pdf11
Пример 1.2. X 1,2,3 , Y 1,2 , Z 1,2,3, 1,2 . Определить, ка-
кие из приведенных ниже утверждений справедливы, а какие – нет:
а) 1 X , b) 1 X , c) Y X , d) Y X , e) Y Z , f) Y Z .
Утверждение а) справедливо, так как 1 является элементом мно-
жества X ;
b)неверно, так как 1 не является подмножеством множества X ;
c)несправедливо, так как множество Y не является элементом
множества X , и поэтому Y не принадлежит множеству X ;
d)справедливо, так как множество Y является подмножеством множества X ;
e)справедливо, так как множество Y является элементом мно-
жества Z ;
f) справедливо, так как множество Y является подмножеством множества Z .
Пример 1.3. Определить, какие из приведенных утверждений спра-
ведливы, а какие нет:
a) , |
b) , |
c) , |
d) . |
Утверждение а) неверно, так как пустое множество по опре-
делению не содержит элементов;
b) справедливо, так как пустое множество есть подмножест-
во любого множества, в том числе и пустого;
c) справедливо, так как представленное множество со-
держит один элемент – ;
12
d) справедливо, так как пустое множество является подмножест-
вом любого множества, в том числе и множества .
Пример 1.4. Рассмотрим множество всех натуральных чисел N и
три множества A 1,2 , B N \ A , C A,B . Справедливо ли высказывание 1 C ?
На первый взгляд кажется, что множество C содержит любое
натуральное число, однако на самом деле множество С вообще не содержит ни одного натурального числа. Действительно, 1 A,
1 B, и поэтому 1 C .
Парадокс Рассела
Парадокс Рассела демонстрирует несовершенство и недостаточность интуитивных представлений о множествах4. Прежде чем привести формулировку парадокса Рассела, остановимся на трех важных мо-
ментах.
1.Существуют множества, которые содержат другие множества в качестве своих элементов; таким является, например, множество
Z из примера 1.2.
2.Существуют множества, которые не являются элементами самих
себя, например, множество A 1,2 не является числом и
A A .
4 Рассел Бертран Артур Вильям (1872-1970) – английский логик, философ, математик, социолог и общественный деятель.
13
3.Если какое-то множество определено корректно, то всегда (име-
ется в виду – для любого объекта) должен существовать одно-
значный ответ на вопрос, принадлежит ли выбранный объект
данному множеству.
Теперь рассмотрим множество F , содержащее те и только те множества, которые не являются элементами самих себя:
F {M | M – множество и M M }.
Парадокс состоит в том, что после такого способа задания мно-
жества F мы не можем однозначно ответить на вопрос: само мно-
жество F как элемент принадлежит F или нет?
В самом деле, если мы предположим, что F F , то тогда F яв-
ляется элементом самого себя и не может, согласно определению,
принадлежать F , т.е. F F .
Если же предположить, что F F , то это означает, что F не является элементом самого себя и поэтому F как элемент принад-
лежит F , т.е. F F .
«Житейским» или ситуационным аналогом парадокса Рассела является известный рассказ о брадобрее.
Брадобрей воинской части получает приказ от командира брить всех тех, кто не бреется сам, но при этом, в целях экономии времени,
ему запрещено брить всех тех, кто бреется самостоятельно. Теперь зададим вопрос: может ли брадобрей побрить самого себя?
Если ответ – «да», то он принадлежит к тем, кто бреется са-
мостоятельно, но таких ему брить запрещено. Если – «нет», то он
14
принадлежит к тем, кто сам не бреется, а такого человека он брить
обязан.
Булеан множества
Напомним, что число элементов конечного множества называется
мощностью множества и обозначается символом | A| или Card A
(от английского cardinality – мощность).
Определение 1.10. Множество всех подмножеств данного множе-
ства называют булеаном множества. Булеан обозначают символом
B(A) .
Пример 1.5. Пусть A 1,2,3 . Перечислить элементы булеана мно-
жества A.
B(A) = , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 .
Пример 1.6. Пусть A 1,2,3,4,...,n , т.е. A n . Найдем мощность
множества B(A) .
Для определения Card B(A) воспользуемся биномиальными коэф-
фициентами Cnk (число сочетаний из n по k )5. Перечислим по по-
5 Сnk |
|
n! |
показывает, сколько существует способов для выбора |
k! n k ! |
из n различных элементов k различных элементов, если порядок их следования не имеет значения.
15
рядку, начиная с пустого множества, все подмножества множества
A:
пустому подмножеству множества A поставим в соответ-
ствие число 1 Cn0 ;
булеан содержит одноэлементные подмножества:
1 , 2 , 3 ,..., n . Число одноэлементных подмножеств
равно n Cn1 ;
булеан содержит следующие двухэлементные подмножества:
1,2 , 1,3 , 1,4 , …, 1,n , 2,3 , 2,4 , …, 2,n ,
3,4 , 3,5 , …, 3,n , … , n 2,n 1 , n 2,n ,
n 1,n . Количество двухэлементных подмножеств рав-
но n(n 1) Cn2 ; 2
продолжая этот подсчет, получим, что булеан содержит Cn3
трехэлементных подмножеств, Cn4 четырехэлементных под-
множеств и так далее;
наконец, мы отметим, что булеан содержит Cnn 1
(n 1)-элементных подмножеств и одно n-элементное под-
множество – само множество A, которому мы сопоставим биномиальный коэффициент Cnn 1.
В результате сумма всех биномиальных коэффициентов по-
кажет нам количество элементов булеана B(A) :
16
2n 1 1 n Сn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 1 Cnn .
Таким образом, для любого множества A, если Сard A n , то
Card B(A) =2n .
1.2. Соответствие между множествами
Прямое произведение множеств.
Определение 1.11.
Упорядоченной парой называют пару элементов (x, y) такую, что равенство двух пар (x, y) (a,b) возможно тогда и только тогда, ко-
гда6 x a и |
y b. |
|
|
Определение |
1.12. |
Прямым (декартовым) произведением двух |
|
множеств A и B называется множество |
|
||
|
|
A B {(x, y)| x A, y B}. |
|
Пример 1.7. |
Если |
A a,b,c,d,e, f ,g,h , |
B 1,2,3,4,5,6,7,8 , то |
A B (a,1),(a,2),(a,3), ,(h,7),(h,8) – |
множество, содержащее |
обозначения всех 64 клеток шахматной доски.
Пример 1.8. Элементы множества R2 R R можно отождествить с точками плоскости, точнее, с координатами (x, y) точек плоско-
17
сти. Такое отождествление соответствует заданию системы коорди-
нат на плоскости. Координатное представление точек плоскости,
предложенное еще Рене Декартом, с исторической точки зрения
представляет собой первый пример прямого произведения7.
Пример 1.9. Пусть дана прямоугольная (декартова) система коор-
динат в трехмерном пространстве и два множества:
A x, y | x2 y2 1, |
x, y R |
и |
|
z |
||
B z|0 z 1, z R . Тогда |
пря- |
|
||||
|
|
|
||||
мое |
произведение |
A B можно |
|
|
|
|
|
|
|
||||
графически изобразить как множе- |
|
|
|
|||
ство точек, расположенных на боко- |
|
|
y |
|||
вой поверхности цилиндра (рис.1.6). |
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
В основании цилиндра лежит |
ок- |
x |
||||
ружность x2 y2 1, |
а высота ци- |
|
Рис. 1.6 |
|||
|
|
|
|
|
||
линдра равна 1. |
|
|
|
|
|
|
Свойства прямого произведения |
|
|
|
|||
1. |
По определению полагают, что |
A . |
2.A B C A B A C .
3.A B C A B A C .
Докажем, например, свойство 3.
6 Если придерживаться более строгой точки зрения, то упорядоченную пару следует определить как множество, содержащее два элемента
{a,{a,b}} (a,b) .
18 |
|
|
|
► Пусть x,y A B C x A, |
y B C |
|
x A, y B и |
y C x,y A B и x,y A C x,y A B A C .
Здесь мы доказали вложение A B C A B A C . |
Об- |
|||
ратно, пусть |
x,y A B A C |
|
x,y A B |
и |
x,y A C |
x A, y B и y C x A, y B C |
x,y A B C . ◄
Замечание. Прямое произведение множеств не является коммута-
тивным, т.е. A B B A. Например, если A 1,2,3 , B a,b , то
AB 1,a , 1,b , 2,a , 2,b , 3,a , 3,b ,
BA a,1 , a,2 , a,3 , b,1 , b,2 , b,3 .
Оба множества содержат одинаковое число элементов, но, очевидно,
это разные множества.
Наконец, отметим, что число элементов прямого произведе-
ния A B A B .
Соответствие между множествами
Определение 1.13. Соответствием между множествами A и B
называют любое подмножество G их прямого произведения:
G A B.
7 Декарт Рене (1596-1650) – французский философ и математик.
19
Пример 1.10. Пусть A 1,2,3 , B a,b . Тогда прямое произведе-
ние A B содержит шесть элементов
AB 1,a , 1,b , 2,a , 2,b , 3,a , 3,b
иимеет 26 различных подмножеств. Любое такое подмножество является, по определению, соответствием. Например, соответст-
виями будут следующие два подмножества:
G1 1,a , 2,b и G2 2,a , 3,a , 3,b .
Определение 1.14. Областью определения соответствия (или пер-
вой проекцией) называется множество
Dom G пр G x| x, y G
1
(символ Dom, от английского domain – область).
Определение 1.15. Областью значений соответствия (или второй проекцией) называется множество
Im G пр2G y| x, y G
(символ Im, от английского image – образ).
Определение 1.16. Сечением соответствия G по элементу x0 на-
зывается множество
G|x0 y| x0 ,y G .
Определение 1.17. Сечением соответствия G по элементу y0 на-
зывается множество
G|y0 x| (x, y0) G .
20
Определение 1.18. Соответствием, обратным соответствию G ,
называется множество
G 1 y,x | x, y G .
Отметим здесь, что Dom G Im G 1 и ImG DomG 1 .
Определение 1.19. Пустым называется соответствие, которое не содержит ни одного элемента. Пустое соответствие, очевидно, явля-
ется пустым подмножеством декартова произведения.
Определение 1.20. Соответствие называется полным, если
G A B .
Способы задания соответствий
Как и любое множество, соответствие G можно задать перечис-
лением своих элементов. Однако значительно удобнее задавать со-
ответствие некоторой таблицей, матрицей или с помощью графиче-
ского изображения – графа соответствия 8.
Пример 1.11. Пусть X {x, y,z}, Y {a,b} и соответствие G име-
ет вид G {(x,a),(x,b),(z,a)}. При задании соответствия графом на рисунке сначала рисуют точки, изображающие элементы двух мно-
жеств. Затем две точки (обозначим их сначала символами и )
соединяют дугой со стрелкой, направленной из в в том и только в том случае, когда упорядоченная пара ( , ) принадлежит
8 Подробно элементы теории графов излагаются в последней главе.