discr_math

11

Пример 1.2. X 1,2,3 , Y 1,2 , Z 1,2,3, 1,2 . Определить, ка-

кие из приведенных ниже утверждений справедливы, а какие – нет:

а) 1 X , b) 1 X , c) Y X , d) Y X , e) Y Z , f) Y Z .

Утверждение а) справедливо, так как 1 является элементом мно-

жества X ;

b)неверно, так как 1 не является подмножеством множества X ;

c)несправедливо, так как множество Y не является элементом

множества X , и поэтому Y не принадлежит множеству X ;

d)справедливо, так как множество Y является подмножеством множества X ;

e)справедливо, так как множество Y является элементом мно-

жества Z ;

f) справедливо, так как множество Y является подмножеством множества Z .

Пример 1.3. Определить, какие из приведенных утверждений спра-

ведливы, а какие нет:

Утверждение а) неверно, так как пустое множество по опре-

делению не содержит элементов;

b) справедливо, так как пустое множество есть подмножест-

во любого множества, в том числе и пустого;

c) справедливо, так как представленное множество со-

держит один элемент – ;

12

d) справедливо, так как пустое множество является подмножест-

вом любого множества, в том числе и множества .

Пример 1.4. Рассмотрим множество всех натуральных чисел N и

три множества A 1,2 , B N \ A , C A,B . Справедливо ли высказывание 1 C ?

На первый взгляд кажется, что множество C содержит любое

натуральное число, однако на самом деле множество С вообще не содержит ни одного натурального числа. Действительно, 1 A,

1 B, и поэтому 1 C .

Парадокс Рассела

Парадокс Рассела демонстрирует несовершенство и недостаточность интуитивных представлений о множествах4. Прежде чем привести формулировку парадокса Рассела, остановимся на трех важных мо-

ментах.

1.Существуют множества, которые содержат другие множества в качестве своих элементов; таким является, например, множество

Z из примера 1.2.

2.Существуют множества, которые не являются элементами самих

себя, например, множество A 1,2 не является числом и

A A .

4 Рассел Бертран Артур Вильям (1872-1970) – английский логик, философ, математик, социолог и общественный деятель.

13

3.Если какое-то множество определено корректно, то всегда (име-

ется в виду – для любого объекта) должен существовать одно-

значный ответ на вопрос, принадлежит ли выбранный объект

данному множеству.

Теперь рассмотрим множество F , содержащее те и только те множества, которые не являются элементами самих себя:

F {M | M – множество и M M }.

Парадокс состоит в том, что после такого способа задания мно-

жества F мы не можем однозначно ответить на вопрос: само мно-

жество F как элемент принадлежит F или нет?

В самом деле, если мы предположим, что F F , то тогда F яв-

ляется элементом самого себя и не может, согласно определению,

принадлежать F , т.е. F F .

Если же предположить, что F F , то это означает, что F не является элементом самого себя и поэтому F как элемент принад-

лежит F , т.е. F F .

«Житейским» или ситуационным аналогом парадокса Рассела является известный рассказ о брадобрее.

Брадобрей воинской части получает приказ от командира брить всех тех, кто не бреется сам, но при этом, в целях экономии времени,

ему запрещено брить всех тех, кто бреется самостоятельно. Теперь зададим вопрос: может ли брадобрей побрить самого себя?

Если ответ – «да», то он принадлежит к тем, кто бреется са-

мостоятельно, но таких ему брить запрещено. Если – «нет», то он

14

принадлежит к тем, кто сам не бреется, а такого человека он брить

обязан.

Булеан множества

Напомним, что число элементов конечного множества называется

мощностью множества и обозначается символом | A| или Card A

(от английского cardinality – мощность).

Определение 1.10. Множество всех подмножеств данного множе-

ства называют булеаном множества. Булеан обозначают символом

B(A) .

Пример 1.5. Пусть A 1,2,3 . Перечислить элементы булеана мно-

жества A.

B(A) = , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 .

Пример 1.6. Пусть A 1,2,3,4,...,n , т.е. A n . Найдем мощность

множества B(A) .

Для определения Card B(A) воспользуемся биномиальными коэф-

фициентами Cnk (число сочетаний из n по k )5. Перечислим по по-

из n различных элементов k различных элементов, если порядок их следования не имеет значения.

15

рядку, начиная с пустого множества, все подмножества множества

A:

пустому подмножеству множества A поставим в соответ-

ствие число 1 Cn0 ;

булеан содержит одноэлементные подмножества:

1 , 2 , 3 ,..., n . Число одноэлементных подмножеств

равно n Cn1 ;

 булеан содержит следующие двухэлементные подмножества:

1,2 , 1,3 , 1,4 , …, 1,n , 2,3 , 2,4 , …, 2,n ,

3,4 , 3,5 , …, 3,n , … , n 2,n 1 , n 2,n ,

n 1,n . Количество двухэлементных подмножеств рав-

но n(n 1) Cn2 ; 2

продолжая этот подсчет, получим, что булеан содержит Cn3

трехэлементных подмножеств, Cn4 четырехэлементных под-

множеств и так далее;

наконец, мы отметим, что булеан содержит Cnn 1

(n 1)-элементных подмножеств и одно n-элементное под-

множество – само множество A, которому мы сопоставим биномиальный коэффициент Cnn 1.

В результате сумма всех биномиальных коэффициентов по-

кажет нам количество элементов булеана B(A) :

16

2n 1 1 n Сn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 1 Cnn .

Таким образом, для любого множества A, если Сard A n , то

Card B(A) =2n .

1.2. Соответствие между множествами

Прямое произведение множеств.

Определение 1.11.

Упорядоченной парой называют пару элементов (x, y) такую, что равенство двух пар (x, y) (a,b) возможно тогда и только тогда, ко-

обозначения всех 64 клеток шахматной доски.

Пример 1.8. Элементы множества R2 R R можно отождествить с точками плоскости, точнее, с координатами (x, y) точек плоско-

17

сти. Такое отождествление соответствует заданию системы коорди-

нат на плоскости. Координатное представление точек плоскости,

предложенное еще Рене Декартом, с исторической точки зрения

представляет собой первый пример прямого произведения7.

Пример 1.9. Пусть дана прямоугольная (декартова) система коор-

динат в трехмерном пространстве и два множества:

2.A B C A B A C .

3.A B C A B A C .

Докажем, например, свойство 3.

6 Если придерживаться более строгой точки зрения, то упорядоченную пару следует определить как множество, содержащее два элемента

{a,{a,b}} (a,b) .

y C x,y A B и x,y A C x,y A B A C .

x,y A B C . ◄

Замечание. Прямое произведение множеств не является коммута-

тивным, т.е. A B B A. Например, если A 1,2,3 , B a,b , то

AB 1,a , 1,b , 2,a , 2,b , 3,a , 3,b ,

BA a,1 , a,2 , a,3 , b,1 , b,2 , b,3 .

Оба множества содержат одинаковое число элементов, но, очевидно,

это разные множества.

Наконец, отметим, что число элементов прямого произведе-

ния A B A B .

Соответствие между множествами

Определение 1.13. Соответствием между множествами A и B

называют любое подмножество G их прямого произведения:

G A B.

7 Декарт Рене (1596-1650) – французский философ и математик.

19

Пример 1.10. Пусть A 1,2,3 , B a,b . Тогда прямое произведе-

ние A B содержит шесть элементов

AB 1,a , 1,b , 2,a , 2,b , 3,a , 3,b

иимеет 26 различных подмножеств. Любое такое подмножество является, по определению, соответствием. Например, соответст-

виями будут следующие два подмножества:

G1 1,a , 2,b и G2 2,a , 3,a , 3,b .

Определение 1.14. Областью определения соответствия (или пер-

вой проекцией) называется множество

Dom G пр G x| x, y G

1

(символ Dom, от английского domain – область).

Определение 1.15. Областью значений соответствия (или второй проекцией) называется множество

Im G пр2G y| x, y G

(символ Im, от английского image – образ).

Определение 1.16. Сечением соответствия G по элементу x0 на-

зывается множество

G|x0 y| x0 ,y G .

Определение 1.17. Сечением соответствия G по элементу y0 на-

зывается множество

G|y0 x| (x, y0) G .

20

Определение 1.18. Соответствием, обратным соответствию G ,

называется множество

G 1 y,x | x, y G .

Отметим здесь, что Dom G Im G 1 и ImG DomG 1 .

Определение 1.19. Пустым называется соответствие, которое не содержит ни одного элемента. Пустое соответствие, очевидно, явля-

ется пустым подмножеством декартова произведения.

Определение 1.20. Соответствие называется полным, если

G A B .

Способы задания соответствий

Как и любое множество, соответствие G можно задать перечис-

лением своих элементов. Однако значительно удобнее задавать со-

ответствие некоторой таблицей, матрицей или с помощью графиче-

ского изображения – графа соответствия 8.

Пример 1.11. Пусть X {x, y,z}, Y {a,b} и соответствие G име-

ет вид G {(x,a),(x,b),(z,a)}. При задании соответствия графом на рисунке сначала рисуют точки, изображающие элементы двух мно-

жеств. Затем две точки (обозначим их сначала символами и )

соединяют дугой со стрелкой, направленной из в в том и только в том случае, когда упорядоченная пара ( , ) принадлежит

8 Подробно элементы теории графов излагаются в последней главе.