discr_math

40

Сначала сгруппируем «слагаемые». В первой паре выражений выне-

сем за скобки конъюнкцию xy , а в последней паре — xy :

f xy(z z) xyz xy(z z) xy 1 xyz xy 1 xy xyz xy

xy xy xy z y(x x) xyz y xy z (y x)(y y)(y z)

(y x) 1 (y z) y xz.

Пример 3.27. Упростить СДНФ функции

f x y z x y z xyz xyz.

f x y z x y z xyz xyz x y(z z) (y y)xz x y xz .

Упрощение переключательных схем

Предположим, что нам задана некоторая электрическая схема с пе-

реключателями. Каждая такая схема может быть представлена в ви-

де некоторой логической формулы. Два простейших случая после-

довательного и параллельного расположения переключателей реали-

зуются формулами конъюнкции и дизъюнкции. Схеме с последова-

тельным расположением переключателей (рис. 3.2) соответствует формула x y (когда включены переключатели x и y , в цепи AB

течет ток).

A B x y

Рис. 3.2

41

Схеме с параллельным расположением переключателей (рис. 3.3)

соответствует формула x y (в цепи AB течет ток, когда включен хотя бы один из переключателей x или y ).

x

y

Рис. 3.3

Отметим, что на рисунке (рис. 3.4) переключатели x , y могут изо-

бражаться в упрощенном виде.

x

y

Рис. 3.4

В более сложных схемах часть переключателей может дуб-

лировать друг друга, а некоторые переключатели могут быть уста-

новлены таким образом, что когда включен переключатель x, то

переключатель x выключен, и наоборот. Устанавливая соответствие между переключательной схемой и ее логической формулой, мы можем, анализируя формулу, переходить с помощью эквивалентных преобразований к формуле, содержащей меньшее число элементов, а

затем построить схему, соответствующую этой более простой фор-

муле.

42

Пример 3.28. Составить логическую формулу для схемы, представ-

ленной на рис. 3.5, и упростить данную схему.

y z

x y z

Рис. 3.5

Переключательной схеме соответствует формула yz xyz x yz,

которая допускает следующее упрощение:

В результате данная схема может быть реализована более простой конструкцией (рис. 3.6):

Рис. 3.6

Переключательные схемы важны еще и потому, что они до-

пускают различные интерпретации.

Рассмотрим схему на рис. 3.5 как упрощенную графическую модель некоторой автоматической сборочной линии, где каждый из элементов x, y , … соответствует работающему станку, а элементы

x, y , … отвечают таким же станкам, которые в данный момент на-

43

ходятся на профилактическом обслуживании (при этом, если вклю-

чают станок x, то профилактические работы проводят со станком x). Дублирование станков, очевидно, повышает надежность работы автоматической линии. Тогда результат (3.17) показывает, что без-

отказная работа автоматическй линии в целом в большей степени зависит от надежности работы станков y и z и в меньшей степе-

ни — от надежности работы станка x.

Пример 3.29. Рассмотрим одну из реализаций логической функции

— исследование содержимого так называемого «черного ящика».

Этот объект представляет собой закрытое (запаянное или запрессо-

ванное) устройство, внутренняя структура которого недоступна. Эту структуру необходимо исследовать, анализируя следующую проце-

дуру: на несколько «входов» (контактов) черного ящика подают им-

пульсный сигнал и анализируют сигнал на «выходах» устройства.

Рассмотрим один из простых «черных ящиков», имеющий три кон-

такта на «входе» ( x1 , x2 , x3 ) и один контакт на «выходе» –

f (x1,x2 ,x3 ) (рис. 3.7). Если, например, на «входы» x1 , x2 подается

импульсный сигнал, а на контакт x3 сигнал не подается, то такой ситуации соответствует последовательность (1,1,0) значений пере-

менных. Если при этом имеется сигнал на «выходе» устройства, то мы получаем соответствие (1,1,0) 1 f (1,1,0), а когда импульс на

«выходе» отсутствует, полагают, что f (1,1,0) 0.

44

x1

x3

Рис. 3.7

Теперь предположим, что результаты тестирования представлены таблицей сигналов на «входе» и «выходе» устройства (табл.3.22).

Для «восстановления» структуры «черного ящика» запишем СДНФ

46

трех переменных. В тех точках, где координата переменной u равна

1, в произведение входит переменная u, там, где координата u равна

0, в произведение входит u . На рис. 3.9 точка A соответствует

x y z, B x y z, C x y z . Упрощение булевой функции состоит в покрытии выделенных точек ребрами и гранями, не включающих невыделенные точки так, чтобы размерность покрытия была наи-

большей. Функция на рис. 3.9 покрывается двумя ребрами AB и BC.

Ребро AB является дизъюнкцией точек A и B, т.е. произведений x y z и x y z, следовательно, согласно закону склеивания (с.122),

ребро AB представляется произведением y z. Аналогично, ребро

BC это x y . Таким образом, заданная логическая функция упроща-

ется до суммы x y zy, что совпадает с выводом на с. 151.

Функция на рис. 3.11 упрощению уже не подлежит. Здесь нет ребер или граней, покрывающих выделенные точки. Функция на рис. 3.12 покрывается тремя ребрами BD, DC, AD. Точка D покрыва-

ется трижды, что допустимо. В результате получаем f xz yz xy.

47

Булева алгебра и теория множеств

В этом разделе мы сначала напомним основные законы логики. Эти законы запишем в символах логических переменных, представляя логические тождества в виде формальных равенств:

Любая алгебраическая структура, содержащая две бинарные

и одну унарную операцию, называется булевой алгеброй, если эти операции удовлетворяют соотношениям 1– 8.

Рассмотрим булеан B (U) некоторого «универсального» мно-

жества U и операции объединения, пересечения и дополнения, за-

48

операции – конъюнкцию ,

операции дополнения A U\ A поставим в соответствие

операцию отрицания .

Нетрудно заметить, что если мы перепишем законы 1– 8 в терминах операции теории множеств, то придем к соотношениям, которые известны как основные свойства операций теории множеств. Таким образом, мы можем вести речь о двух широко известных булевых алгебрах:

структура (P2(m), , , ) есть булева алгебра логи-

ческих функций m переменных;

структура (B (U), , , ) есть булева алгебра с опе-

рациями пересечения, объединения и дополнения.

Еще одну булеву алгебру можно задать следующим образом.

Пусть B 0,1 и Bn — декартово произведение Bn B B ... B

(n раз). Элементами Bn являются всевозможные упорядоченные наборы нулей и единиц (двоичные векторы). Определим операции

покомпонентного (поразрядного) логического «умножения» и логи-

ческого «сложения» двух таких последовательностей.

Для любых , Bn :

( 1, 2,..., n) ( 1, 2,..., n) ( 1 1,..., n n ) ,

( 1, 2,..., n) ( 1, 2,..., n) ( 1 1,..., n n) .

Нетрудно показать, что определенные выше операции удовлетворя-

ют свойствам 1–8, поэтому система (Bn, , , ) представляет собой

булеву алгебру двоичных векторов длины n.

Сходство основных законов алгебры логики и алгебры мно-

жеств отражают следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.

Теорема 3.6. Если Card U n , то булева алгебра множеств

(B(U), , , ) изоморфна булевой алгебре (Bn, , , ).

Теорема 3.7. Если Card U 2m , то булева алгебра множеств

(B (U), , , ) изоморфна булевой алгебре (P2(m), , , )

логических функций.

Отмеченные изоморфизмы позволяют в некоторых случаях заменять теоретико-множественные операции логическими, и на-

оборот.

Пример 3.30. Доказать для произвольных множеств A,B и C

справедливость равенства:

Переформулируем данное равенство в терминах логики. Заменим символы A, B,C на логические переменные x, y , z соответствен-