Разложение коэффициента множественной детерминации

Имеем зависимость: .

Задача: оценить влияние каждого коэффициента на.

Выбирается индекс .

Все переменные в задаче остаются неизменными, а среднее значение фактора увеличится на:

В результате изменение вызванное изменением факторапосле преобразования может быть получено в следующем виде:

.

Рассмотрим, насколько велика доля этого изменения в общей вариации:

,

где – дисперсия признака,– дисперсия;– стандартизованный коэффициент (или стандартизованный параметр).

Смысл: квадрат стандартизованного параметра показывает, какова доля влияния фактора на вариацию показателя.

Совместное влияние факторов создает системный эффект вариации - влияние всех факторов на показатель:

(4)

Коэффициенты частной детерминации

,

(5)

где – парный коэффициент корреляции (междуи),– стандартизированный коэффициент;

(6)

Коэффициент множественной корреляции:

(7)

Коэффициент корреляции между отклонениями и показателем

,

(8)

где числитель – ковариационный момент; знаменатель – дисперсия.

Предположение: ошибки имеют среднее значение равное нулю . В результате формула упрощается:

(9)

Смысл: чем ближе к единице, тем точнее модель описывает связи между переменными (то есть тем меньше коэффициенти меньше влияние).

Коэффициент корреляции между расчетными и фактическими значениями показателя

(10)

(11)

Скомбинируем формулы (9) и (10), получим уравнение:

(12)

Выражение оценок параметров регрессии через числовые характеристики

Выполним центрирование всех переменных: ;.

Уравнение зависимости:

Парные коэффициенты корреляции:

(13)

Получим корреляционную матрицу через нормированные исходные данные.

Нормирование: .

Запишем исходные нормированные данные в виде матрицы:

.

Формулы для коэффициентов корреляции: .

Корреляционная матрица (расширенная):

,

Оценки модели:

,

(14)

где–алгебраические дополнения элементов матрицы.

Формула для :

(15)

ЛЕКЦИЯ 5. АНАЛИЗ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Выполним центрирование и нормирование переменных:

; ;.

Множественная линейная регрессия в стандартизованном масштабе: .

Система нормальных уравнений имеет вид:

(1)

Если решать систему по методу Крамера получим:

(2)

(3)

Изменение фактора напри неизменных значениях других факторов вызовет изменение среднеквадратического отклоненияна.

Получим матричную форму соответствующей системы уравнений. Для этого используем такие обозначения:

–корреляционная матрица факторов. составляемая из парных коэффициентов корреляции ().

Матрица столбец коэффициентов корреляции и:

Столбец оценок стандартизованных параметров:

Систему (1) можно записать в матричной форме:

(4)

количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Матрица – квадратная.

Систему в матричной форме можно решить матричным методом:

(5)

Выразим в матричной форме коэффициент множественной детерминации:

,

где – скалярное произведение двух векторов.

(6)