Темп прироста производственной регрессии

Все три величины – функции времени. Их прирост может быть охарактеризован частными производными: ,,.

Темп прироста – это отношение скорости изменения переменной к ее уровню

; .

Выразим первый темп прироста через два других. Для этого возьмем уравнение: . Найдем производную, считая, что отзависит каждый:

.

Найденную производную разделим на уровень показателя . Получим:

(3)

Экономический смысл: темп прироста показателя является взвешенной суммы темпов прироста факторов производства. Весами являются коэффициенты эластичности.

Изокванты

Изокванта– геометрическое место точек на плоскости (,) для которых значение показателяпостоянно. На языке математики это называется линия уровня.

1 и 2 – линии уровня. Возьмем точку , ей будет соответствовать пара,, а точке–и

Для производства это означает: частичную взаимозаменяемость факторов производства (это может быть не для любого производства, а если может, то в каких–то пределах).

компенсирует уменьшение фактора , и наоборот.

–уравнение изокванты.

Выразим через:

,

(4)

здесь обозначено=.

Если – изоквантами являются обычные гиперболы.

Производственная регрессия в общем случае означает, что в модели факторов.

;

(5)

Выполним логарифмирование:

Сделаем замену: =;=;=; …=:

.

Если ввести матрицы, то получим:

–матрица значений факторов

–вектор коэффициентов.

Можно найти вектор коэффициентов в матричной форме:

(6)

; – частные коэффициенты эластичности,.

Их сумма: –суммарный (общий) коэффициент эластичности.

Выражение темпа прироста показателя через темпы прироста факторов:

(7)

Рассматривают модели вида (5) в следующем варианте. Вводят экспоненту, отражающую влияние технического прогресса:

(5')

Лекция 10. Предельная производительность и предельный продукт

Рассмотрим: модель производственной функции.

Простейшая модель – двухфакторная:

(1)

Факторы иэто капитал и труд или объем производственных фондов и трудозатраты,– объем производства.

Предельной производительностью труда называют изменение объема производства продукции за счет изменения затрат труда на единицу при неизменных прочих факторах, влияющих на объем производства (определение для многофакторной модели).

Как изменится при изменении фактора на единицу.

–трудозатраты, – капитал (речь идет об изменениипри неизменном.

Это будет выражаться в виде соответствующего приращения (в математике это называется частное приращение).

Если ввести в рассмотрение модели:

,

(2)

то частное приращение имеет вид:

Делается нормировка:	част. приращение	=	приращение на единицу
	приращение аргум.

Разностное отношение:

.

Таким образом (предельная производительность труда):.

(3)

Здесь участвует коэффициент модели (коэффициент эластичности).

Отношение функции к фактору назовем средней производительностью труда:

;

(4)

коэффициент пропорциональность (является коэффициентом эластичности) .

Предельный продукт труда – это дополнительная продукция, полученная в результате дополнительных затрат труда при неизменных прочих факторах.

Речь идет о частном приращении, которое примерно равно произведению частной производной на приращение фактора

Для небольших приращений можно использовать формулу (4) и получить выражение через предельную производительность (через среднюю производительность)

(5)

Предельной производительностью капитала называется изменение объема производства продукции за счет изменения на единицу капитала при неизменных значениях прочих факторов производства.

Средняя производительность капитала:

Предельная производительность капитала при :

(6)

Предельный продукт капитала – дополнительный объем продукции за счет дополнительного капитала при неизменных прочих факторах

Частное приращения для малых значений:

(7)

Доверять этой формуле можно только при небольших приращениях аргумента.

Получим формулу для предельного продукта (в математике: полное приращение, как сумма частных приращений).

(8)

Точная формула в общем случае выглядит так:

(9)

Аналогично можно рассмотреть предельную производительность и предельные продукты для факторов.