Лекция 3. Статистические оценки для множественной регрессии Коэффициент множественной корреляции

Величина – коэффициент множественной детерминации.

Рассмотрим несколько формул для этого коэффициента.

Первичное определение коэффициента:

,

(1)

где – среднее значение;– наблюдаемые (эмпирические) значения;– расчетные (теоретические) значения:.

Опуская некоторые преобразования можно получить такой вид для коэффициента:

(2)

Свойство:.

Если , то, то есть экспериментальные точки попали на линию регрессии.

Вывод: чем ближе опытные данные расположены к линии регрессии, тем коэффициент ближе к единице.

Этот коэффициент оценивает близость формы связи с выборочными данными.

называется коэффициент множественной корреляции.

(переходим к матричной форме)

Коэффициент множественной детерминации в матричной форме:

(3)

Значимость коэффициента можно проверить с помощьюкритерия Фишера:

–расчетное значение критерия Фишера,

(4)

где – число периодов наблюдения;– число факторов.

Критическое значение определяют по таблице;– вероятность (надежность), ,.

Если расчетное значение больше критического, то с надежностью можно считать, что коэффициент детерминации статистически значимый, и включенные в модель факторы достаточно поясняют изменение показателя.

Корреляционная матрица

Имеется – нормально распределенных случайных величин.

Упорядоченный набор () – называется случайным вектором. Если сделанонаблюдений, то говорят о векторной выборке объема:

Формула для выборочного среднего: .

Величину будем называть математическим ожиданием.

Дисперсия:

(5)

Вводится еще группа величин, которые называются коэффициентами коварации:

, если , то получается .

В статистическом анализе точечными оценками данных параметров является:

• выборочное среднее ;

• исправленная выборочная дисперсия ;

• исправленные парные коэффициенты коварации

.

Из этих коэффициентов составляется – квадратная матрица ,.

Диагональными элементами являются исправленные дисперсии, т.е. .

Каждый коэффициент коварации характеризует тесноту связи величин ии разброс их значений.

Нормировка:

(6)

Это парный коэффициент корреляции признаков и.

Свойство:

При – корреляция называется положительной;

при – корреляция называется отрицательной.

Абсолютная величина характеризует силу связи:

слабая: ; средней силы:;

сильная:; очень сильная:.

Парные коэффициенты, взятые вместе составляют корреляционную матрицу .

Лекция 4. Соотношения между коэффициентами корреляции

Для многомерной модели при изучении связи факторов недостаточно получить корреляционную матрицу. Дополнительно необходимо найти частные коэффициенты корреляции.

Частным коэффициентом корреляции между и называется показатель корреляционной зависимости между этими факторами при фиксированном значении остальных факторов.

Обозначим:

,

(1)

где – алгебраическое дополнение соответствующего элемента корреляционной матрицы.

Составим расширенную корреляционную матрицу :

(2)

Величину коэффициента множественной детерминации можно получить через матрицы и:

(3)