Непрямой метод наименьших квадратов в матричной форме

Рассмотрим систему двух регрессий:

(4)

Перенесем из левой части уравнений в правую с изменением знака:

Введем матрицы В и А:

Рассмотрим три вектора: ; ; .

Система уравнений может быть записана в матричной форме:

(5)

Введем обратную матрицу для матрицыВ.

Умножим уравнение (5) на слева.

Обозначим множитель , , получим:

(6)

Это выполнено преобразование из структурной формы в прогнозную. Элементы матрицы С оцениваются стандартным образом.

Матричное уравнение связывает элементы трех матриц с известной матрицейС.

Это матричное уравнение можно записать в виде системы уравнений:

(см. предыдущую лекцию).

Система из n регрессий

Рассмотрим общий случай.

Определения: Система регрессий называется полной, если:

а) в ней столько регрессий, сколько эндогенных величин;

б) она содержит все переменные, которые имеют существенное влияние на совместно зависимые эндогенные величины;

в) определитель матрицы В не равен 0, т.е. систему можно разрешить относительно эндогенных величин.

Эконометрическая модель в матричной форме:

(7)

Модель вида (7) будет идентифицированной, если будет идентифицированной каждая регрессия этой системы.

Обозначим через количество факторов, черезколичество показателей. Будем считать, что в каждом уравнении есть соответственно.

Условие, которое должно быть выполнено для каждого уравнения:

(8)

Например, если ,, тоили,.

Для оценки параметров идентифицированной системы регрессий применяется непрямой метод наименьших квадратов:

- система в прогнозной форме.

(9)

Оцениваются элементы матрицы С, после этого элементы матриц А и В находятся из системы уравнений Все коэффициенты определяются однозначно.

Лекция 13. Двухшаговый метод наименьших квадратов

Метод применяется для неидентифицированной системы регрессий. Предположим, что матричное уравнение составлено для временных точек (интервалов)

(1)

Содержание 2-х шагового метода.

Рассмотрим матрицы Х и , содержащие значения всехиво все моменты времени

Составим систему регрессий в прогнозной форме.

(2)

Найдем оценки всех коэффициентов системы уравнений. Подставим полученные расчетные значения в правую часть системы регрессий.

(3)

Для каждого уравнения системы (3) находятся оценки коэффициентов обычным методом наименьших квадратов.

В результате полностью будут получены оценки элементов матриц А и В.

Модифицированный 2-х шаговый метод наименьших квадратов

Формулировка идеи метода

1-й шаг. Оценка методом наименьших квадратов элементов матрицы приведенной системы регрессий.

2-й шаг. Оценка методом наименьших квадратов параметров при эндогенных величинах для приведенной системы регрессий. Окончательная оценка параметров исходной системы.

Рассмотрим систему из 2-х уравнений:

(4)

Переходим от структурной формы к прогнозной или приведенной форме.

(5)

1-й шаг: оценка параметров системы (5), а именно получение оценок для матрицы С.

Для каждого уравнения это делается отдельно. Условие возможности выполнения запишем в матричной форме.

(6)

Получим расчетные значения ,

(7)

2-й шаг:

Выразим ,через(4)

(8)

Применим метод наименьших квадратов. Критерий:

;

Результаты – формулы для расчета элементов матрицы В:

(9)

Элементы матрицы А находятся по уравнению по уже известнымВ и С.

Общий случай в матричной форме:

1-й шаг:

Если матрица В имеет обратную, то вводится матрица и переходим из структурной формы в прогнозную, где

Находим транспонированную матрицу , затем.

Условие: определитель матрицы

2-й шаг: Получение расчетной

Далее необходимо получить матрицу .

;

- система регрессий для параметров В.

Стандартным образом делаются оценки и находятся элементы матрицы В.

Окончательное уравнение не изменилось: ; элементыА находят по двум известным В и С.

Пример. Следующая эконометрическая модель:

- национальный доход Украины,

- товарооборот Украины со странами Европейского союза

- экспорт

- импорт

Фактические данные на основании которых производится расчет

	40	55	61	65	69	72	76	80	86	89
	4,5	5,1	5,6	6,3	6,9	7,2	7,8	8,6	8,9	9,1
	50	63	72	81	96	105	116	129	130	150
	65	79	85	97	106	111	125	137	142	153

Окончательный вид уравнений, рассчитанных 2-х шаговым методом следующий:

.