golovizin_lekcii_po_lineynoy_algebre_2_semestr / Лекция 23. Базис векторного пространства

, , ... , .

Мы уже доказали, что эта система линейно независимая. Докажем, что она является порождающей системой столбцов пространства .

Пусть - произвольный столбец. Тогда очевидно равенство: . Т.е. система - порождающая и, следовательно, является базисом. Отсюда, , ч.т.д.

Определение. Базис

, , ... ,

арифметического векторного пространства столбцов высоты n называется каноническим или естественным.

Упражнение.

Докажите, что если порождающая система векторов содержит нулевой вектор, то после его удаления из системы, оставшаяся система векторов будет тоже порождающей.