22.Расчет цепей на синусоидальном токе.

Переменныминазываются токи и напряжения, изменяющиеся во времени.

Токи и напряжения, значения которых повторяются через определенное время, называются периодическими:

,

где Т– минимальный промежуток времени, через которое это равенство выполняется –период. Величиначастотой. Величинаназываетсяциклическойчастотой.

Преимущество синусоидальных токов:

1. при трансформации форма токов и напряжений не меняется;

2. реакцией цепи на синусоидальное воздействие является синусоидальная функция той же частоты (доказательство этого утверждения оставим на первый семестр);

3. нет помех радиоприему.

Частными случаями периодических переменных функций являются синусоидальные функции:

,

.

Рассмотрим некоторые параметры синусоидальных функций. Очевидно, синусоидальная функция характеризуется максимальным значением , частотойи сдвигом фаз. Есть еще одна характеристика синусоидальной функции – ее действующее значение:

Теперь поясним выше сказанное, отдельно взяв интеграл под корнем:

.

ВНИМАНИЕ: Амперметр всегда показывает действующее значение.

Введем понятие среднего значения – средневыпрямленное за период значение функции.

.

Рассмотрим коэффициенты, характеризующие синусоиду:

• коэффициент амплитуды:

.

• коэффициент формы:

.

Поскольку частоты воздействия и реакции цепи одинаковы, при решении задач нас будут интересовать амплитудные значения и сдвиги фаз.

23. Изображение синусоидальных величин векторами и комплексными числами.

Итак, наша задача – найти амплитудные значения и начальные фазы всех токов и напряжений. Воспользовавшись непосредственно законами Кирхгофа, получим систему интегро-дифференциальных уравнений, которая решается достаточно сложно. До проведения каких-либо расчетов посмотрим, почему возникает задача представления векторов в виде комплексных чисел.

Рассмотрим следующую задачу (см. рисунок). Даны два тока:

Наша задача – найти .

Решение:

,

тогда

.

Решение достаточно простой задачи, где мы не имели дело с индуктивностями и емкостями, выглядит весьма громоздко. Поищем другой способ решения данной задачи. Заметим, что наш ток мы можем изобразить в виде вращающегося на плоскости против часовой стрелки вектора, обладающего длиной, частотой вращенияи начальный угол отклонения от горизонтальной оси. Тогда проекция этого вектора на вертикальную ось как раз будет изменяться по закону (см. рисунок):

.

Тогда мы можем легко применить первый закон Кирхгофа к двум токам из нашей задачи: задача сложения токов сводится к сложению двух векторов (см. рисунок ниже). Такой подход к решению задачи допустим, потому что все три вектора (и исходные, и результирующий) будут вращаться на плоскости с одной и той же угловой частотой, взаимное расположение векторов в любой момент времени остается постоянным.

Совокупность векторов, отображающих синусоидальные токи и напряжения, построенных с учетом относительной ориентации и масштабов, называется векторной диаграммой.

Проводим аналогию с обобщенным комплексным воздействием. Рассмотрим комплексное число:

,

тогда модуль этого числа:

,

тогда мы можем записать:

,

где . Возьмем нашу синусоидальную функцию и поставим ей в соответствие комплексное число:

.

Мы знаем, что

,

т.е. эта величина определяет начальный сдвиг фаз на комплексной плоскости. Рассмотрим фактор :

.

Это единичный вектор, который определяет направление вращения вектора тока на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Можно записать еще и следующим образом:

,

где - комплексная амплитуда.

Величины, зависящие от времени: токи, напряжения, значения источников ЭДС и тока изображаются на комплексной плоскости векторамии обозначаются( с точкой). Величины не зависящие от времени (сопротивление,..), отображаютсяотрезками.

Если при решении задачи с помощью комплексных числе мы нашли комплексную амплитуду, то для нахождения временной функции мы обязаны помножить эту амплитуду на и взять от полученной величины мнимую часть:

.

1. соответствие временных функций и комплексных величин (векторов), которое справедливо только для линейных цепей (принцип суперпозиции);

2. из двух составляющих - sinиcos- физическая реализация возможна только для синуса.

3. переход в область действительных времен (оригиналов) осуществляется путем выделения мнимой части.

24.Основная идея состояла в том, чтобы уйти от системы интегральных и дифференциальных уравнений. Путь у нас есть ток, у него есть отображение:

,

посмотрим, что происходит с его производной:

.

Мы говорили, что переход осуществляется по синусу, поэтому

.

Теперь переходим в область комплексных времен (изображений):

.

Вывод:В области комплексных величин операция дифференцирования заменяется умножением на фактор.

Посмотрим теперь на интеграл:

.

Вывод:В области комплексных величин операция интегрирования заменяется делением на фактор.

Теперь ясно, что мы от системы интегро-дифференциальных уравнений можем уйти в область комплексных величин, решить задачу, а потом вернуться к область действительных функций путем выделения мнимой части.

Еще мы ранее говорили о системе вращающихся векторов: у них у всех одинаковая частота. В этом мы сейчас и убедились: действительно, у всех рассматриваемых векторов есть множитель – единичный вектор, обеспечивающий вращение всей системы против часовой стрелки с одной частотой. Значит мы может рассматривать только взаимное расположение наших векторов на комплексной плоскости, а о факторенужно вспоминать только тогда, когда переходим в область действительных времен.

Расчет синусоидальных функций с использованием комплексных величин называется комплекснымилисимволическим методом.