37.Разряд конденсатора с начальным напряжением наRl-цепь.
В цепи нет источника, но зато содержится 2 реактивных элемента: катушка и емкость, обладающая напряжением в начальный момент времени. По второму закону Кирхгофа,
Продифференцируем уравнение по времени:
Определим ток в цепи:
Поскольку
в цепи нет источника,
,
тогда
,
где
и
- корни характеристического уравнения:
,
откуда
.
Запишем начальные условия:
.
До
коммутации ток через индуктивность не
протекал,
,
с другой стороны,
.
Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:
.
В
момент времени
.
Тогда
.
Решая
совместно
и
,
получим:
.
Отсюда найдем ток:
Упростим полученное выражение для
.
Пусть
,
отметим, что
Подставив это равенство в выражение
для
,
получим:
,
где
.
Итак, мы рассмотрели решение данной
цепи в общем случае. Рассмотрим далее
частные случаи и в зависимости от
предполагаемых значений
и
попытаемся построить графики токов и
напряжений. Возможны 3 случая в зависимости
от того, что получится в подкоренном
выражении в формуле для
:
и
отрицательны и различны,
;
и
отрицательны и совпадают,
;
и
представляют собой пару комплексно
сопряженных чисел,
.
1 Случай.Апериодический характер процесса.
В этом случае
являются различными действительными
отрицательными числами:
,
кроме того,
,
поскольку мы выбрали
,
тогда
.
Наша задача - построить графики токов
и напряжений, не зная численных значений
элементов цепи. Ток в контуре начинается
и заканчивается в нуле (в начальный
момент времени цепь разомкнута, а после
замыкания ключа в цепи нет источника,
чтобы поддерживать ток). Значит, ток
должен достигать максимального (по
модулю) значения, причем это значение
всегда будет отрицательным (см. формулу
для значения тока с учетом выбранных
значений
и
),
что с точки зрения физики процесса
означает разрядку конденсатора. Построим
графики тока в контуре и напряжений на
емкости и индуктивности (очевидно,
график напряжения на сопротивлении
будет повторять график тока с неким
коэффициентом
).
В начальный момент времени напряжение
на индуктивности =
,
при
(выражение для индуктивности представляет
из себя суперпозицию двух экспонент).
При максимальном значении тока в контуре
значение напряжения на индуктивности
должно = 0 (с физической точки зрения,
все напряжение от конденсатора приложено
к сопротивлению, а с математической,
чтобы найти максимум функции, нужно
приравнять к нулю производную этой
функции и найти корни полученного
уравнения; производная тока по времени
с точностью до коэффициента равна
).
Напряжение на конденсаторе в начальный
момент времени по 2-му закону коммутации
,
а при
это напряжение падает до нуля.
Теперь рассмотрим максимумы напряжений
на индуктивности и сопротивлении в
моменты времени
и
.
Как говорилось выше, максимум тока в
контуре будет определяться из условия
.
Максимум напряжения на индуктивности
в момент времени
определяется из условия
.
38.Разряд конденсатора с начальным напряжением наRl-цепь.
В цепи нет источника, но зато содержится 2 реактивных элемента: катушка и емкость, обладающая напряжением в начальный момент времени. По второму закону Кирхгофа,
Продифференцируем уравнение по времени:
Определим ток в цепи:
Поскольку
в цепи нет источника,
,
тогда
,
где
и
- корни характеристического уравнения:
,
откуда
.
Запишем начальные условия:
.
До
коммутации ток через индуктивность не
протекал,
,
с другой стороны,
.
Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:
.
В
момент времени
.
Тогда
.
Решая
совместно
и
,
получим:
.
Отсюда найдем ток:
Упростим полученное выражение для
.
Пусть
,
отметим, что
Подставив это равенство в выражение
для
,
получим:
,
где
.
Итак, мы рассмотрели решение данной
цепи в общем случае. Рассмотрим далее
частные случаи и в зависимости от
предполагаемых значений
и
попытаемся построить графики токов и
напряжений. Возможны 3 случая в зависимости
от того, что получится в подкоренном
выражении в формуле для
:
и
отрицательны и различны,
;
и
отрицательны и совпадают,
;
и
представляют собой пару комплексно
сопряженных чисел,
.