33. Классический метод расчета переходных процессов.

Возьмем последовательный контур, изображенный на рисунке и запишем для него 2 закон Кирхгофа (законы Кирхгофа выполняются и для переходных процессов):

,

причем в данном случае на не накладывается никаких определенных условий. Продифференцируем это выражение по:

.

То же самое уравнение мы можем записать для установившегося режима:

,

здесь - установившееся значение тока, которое переменный ток принимает после окончания переходного процесса, то есть при. Мы будем обозначатькак-принужденный ток. Назовемсвободным токомразность между переходным током и установившимся током. Тогда мы можем сказать, что переходной ток будет равен сумме свободной составляющей и установившейся составляющей:

,.

Используя полученные равенства, мы можем также составить подобное уравнение и для свободной составляющей:

.

Свободная составляющая тока не зависит от входного воздействия и определяется только параметрами цепи. Разложение тока на составляющие – свободною и установившуюся – чисто математический прием. Решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного частного уравнения. В теории цепей поступили точно также, разложив ток на составляющие: однородную - и неоднородную -. Никаких свободных составляющих тока на самом деле не существует, это чисто математический элемент!

Для дифференциального уравнения -го порядка, если нужно определить ток в-й ветви, можно записать:

,

и решение этого уравнения будет выглядеть как

,

где коэффициенты определяются изхарактеристического уравнения

,

а коэффициенты определяются из начальных условий (законов коммутации). Для нашего случая (цепь второго порядка):

.

Характеристическое уравнение имеет вид , его корни имеют вид:

.

Переходные процессы.

Внезапное изменение токов, напряжений или параметров цепи называется коммутацией. В результате коммутаций протекают переходные токи, идетпереходной процесс. В чисто резистивных цепях коммутация не вызывает переходных процессов: если в результате коммутации идет перераспределение энергии, которая накоплена в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора, то только в этом случае происходит переходной процесс.

Представим, что ток через индуктивность изменился скачком. В этом случае напряжение на индуктивности должно быть равно бесконечности, однако

,

мгновенная мощность, которая в таком случае тоже будет равна бесконечности. А поскольку мы имеем дело с источниками ограниченной мощности, получаем

1-й закон коммутации:

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток не меняют своих значений в момент коммутации и их изменения начинаются с тех значений , которые они имели до коммутации.

Если коммутация происходит в момент времени , то математическая запись будет выглядеть следующим образом:

,

т.е. скачка быть не может. Аналогично, если у нас есть напряжение на конденсаторе, которое меняется скачком, то ток через этот конденсатор должен быть равным бесконечности, а тогда произведение тока на напряжение тоже есть бесконечность что противоречит конечности мощности источника.

2-ой закон коммутации:

Напряжение и заряд на емкости в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации и их изменения начинаются именно с этих значений, т.е.

.

Переменные, значения которых подчиняются законам коммутации, т.е. и, называютсянезависимымипеременными, потому что мы непосредственно из законов коммутации можем определить их начальные значения. Переменные, значения которых мы не можем после коммутации определить непосредственно, называютсязависимыми.

Однако существуют такие условия, при которых величины могут изменяться скачком. Но в этом случае напряжение на индуктивности и ток через емкость будут равны бесконечности – случай идеализированный. Вскоре мы «изобретем» такую схему, что мощность источника будет конечна, а мощность на индуктивности – бесконечна.