Свойства матрицы .

Утверждение: .

Доказательство:

- первый закон Кирхгофа.

В отличие от матрицы инциденции, в данном случае мы работаем с деревом.

Утверждение:, где- ЭДС ветвей дерева.

Доказательство:

.

19.

20.

21. Метод узловых потенциалов.

Заметим, что в изображенной цепи 3 узла. Известно, что распределение токов и напряжений не изменится, если мы заземлим любой из узлов и примем его потенциал равным нулю. Заземлим узел с потенциалом . По первому закону Кирхгофа для двух оставшихся узлов запишем:

По обобщенному закону Ома, запишем:

Подставляем ви группируем слагаемые с одинаковыми потенциалами:

- это и есть уравнения по МУП.

Уравнения имеют следующую структуру. Потенциал узла умножается на его собственную проводимость- сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу. Из этого произведения вычитаются потенциалы узлов, имеющие с рассматриваемым общие ветви, умноженные на взаимную проводимость этих узлов (сумму проводимостей всех ветвей, которые находятся между этими двумя узлами). Потенциал узла, потенциал которого мы приняли равным нулю, естественно, в уравнения не входит. Матрицав общем случае будет симметрична, на главной диагонали будут стоять собственные проводимости узлов; эти элементы матрицы всегда будут иметь знак «плюс». Недиагональные элементы всегда будут иметь знак «минус». В правой части уравнений– алгебраическая сумма произведений источников ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, причем это произведение берется со знаком «+», если ЭДС направлена к узлу, и со знаком « – », если от узла.

Рассмотрим случай, когда в цепи будут присутствовать источники тока. Понятно, что проводимость первой ветви в этом случае будет равняться нулю, и первое уравнение будет выглядеть следующим образом:

,

источник тока войдет в правую часть со знаком «плюс», если он направлен к узлу и со знаком «минус» в противоположном случае. Количество уравнений не уменьшается. Следовательно, уравнения по

МУП не зависят от изначально выбранных направлений токов в ветвях. Количество уравнений по МУП:

.

МУП хорош тем, что не нужно выбирать дерево.

Посмотрим на знаки перед источниками, постараемся понять, почему направление источников так хитро учитывается. Докажем правильность расстановки знаков, обратившись к стандартной ветви. Рассмотрим схему, содержащую узлов, и рассмотрим стандартную ветвь, сначала без источника тока.

Естесственно,

.

Значит

Для любого узла выполняется первый закон Кирхгофа (выбрасываем только собственный узел).

.

Учтем, что узел к узлу никакого отношения не имеет, его можно вынести за скобку:

.

Отсюда

,

сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу, умноженная на потенциал собственного узла, взятая со знаком «плюс», минус сумма произведений проводимостей между i–м иj–м узлом и потенциалов соответствующих узлов равна взятой со знаком «минус» сумме произведений источников на проводимости.

Мы доказали все знаки, полученные ранее на частном примере.

Теперь вспоминаем об источнике тока. В данном случае он будет вытекающим. С учетом его наличия, уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

.

Полученный результат также соответствует результату, полученному ранее для частного примера.

Если мы теперь посмотрим на уравнение

,

где в могут входить как источники тока, так и источники ЭДС, умноженные на проводимость,- собственные проводимости, берутся со знаком « + »,- взаимные проводимости, берутся со знаком « – ».

Получим эту же систему уравнений в стандартном виде, т.е. через стандартную ветвь. Для стандартной ветви:

.

Опираясь на закон Ома и записанные выше уравнения, получим:

.

Вспомним про редуцированную матрицу инциденций, умножим правую и левую часть на :

Сравниваем число уравнений и число неизвестных. Матрица дает намN-1уравнений, а число неизвестных – это число ветвей графа. Вспоминаем, что

Подставляем это в полученное ранее выражение:

Свели уравнение к полному. Получаем относительно :

Теперь можем найти все необходимое:

,

Замечание:Матрицане требует составления дерева, поэтому вычислительный алгоритм для машин будет относительно простым.