57.Метод Ньютона-Рафсона.

При расчете нелинейных цепей этот метод реально используется на практике, поскольку у метода Н-Р сходимость квадратичная. Выберем точку , соответствующее значение функции. Построим уравнение касательной в этой точке, которая пересечет ось напряжений в точке. Тогда

.

Построим уравнение касательной к функции в точке , которая пересечет ось напряжений в точкеи т.д. Нам шаге получим:

.

Судя по графику (см. рис.) алгоритм достаточно быстро сходится к искомому решению, поэтому будем считать, что на м шаге требуемая степень точности достигнута и

,

тогда

.

Поскольку мы рассматриваем аналитические методы решения, вычисление производной функции тоже можно провести с помощью некоторого численного алгоритма. Разложим функцию в ряд Тейлора:

Сформируем выражение для производной:

Ошибка при данном способе вычисления производной будет определяться величиной . Изменим алгоритм подсчета производной:

,

получается знакочередующийся ряд. Вычтем почленно из уравнения уравнение:

.

Действительно, при таком определении производной ошибка пропорциональна , точность метода существенно выше.