Свойства матрицы .

,

где - вектор-столбец ЭДС ветвей схемы. Если у нас есть ветвь, в ней – сопротивление, через которое протекает ток (см. рис), значит есть и напряжение; но мы знаем, что напряжению всегда можно поставить в соответствие ЭДС, которая идет от минуса к плюсу (в западной литературе предпочитают понятию «напряжение» понятие «ЭДС ветви», которые, по сути, будут отличаться только знаком).

Тогда записанное выше уравнение представляет собой второй закон Кирхгофа. Но второй закон Кирхгофа может быть записан и таким образом:

,

где - вектор-столбец контурных ЭДС, т.е. алгебраическая сумма ЭДС контура. Значит, подставляя в это уравнение, получаем:

.

Обычно при расчете цепей нам нужно определить токи в ветвях. Проверим полученное уравнение на полноту: число уравнений должно быть равно числу неизвестных; если матричное уравнение не полно, то решить его и найти токи мы не сможем. В данном случае, неизвестные – токи во всех ветвях (nнеизвестных), известные -, контуров у нас в данном случае 4, значит и количество уравнений = 4. Система уравнений неполная, решить ее невозможно.

Отметим еще одно свойство матрицы :

,

где - токи хорд,- токи ветвей.

Доказательство:

Подставим в старое выражение:

.

Теперь число неизвестных совпадает с числом хорд (в нашем случае 4), а значит и с числом уравнений, т.е. мы перешли от неполной системы к полной, поменяв базис.

17. . Матрица инциденций.

Наиболее распространенной из матриц инциденций является матрица узел-ветвь .

Правило формирования:

1. чертится граф-схема;

2. выбираются условно-положительные направления ветвей (токов в ветвях);

3. нумеруются ветви графа;

4. нумеруются узлы графа;

5. записывается матрица :

Особенность данной матрицы заключается в том, что не нужно выбирать дерево, что значительно упрощает решение поставленной задачи на машине.

Если смотреть на граф, то в общем случае может быть выбран и такой контур: , у которого начало и конец совпадают, он называется собственным контуром. Но реальные цепи не содержат собственных контуров, т.е. начало и конец ветви не совпадают: ветвь начинается на одном узле, заканчивается на другом. А если так, то у ветки всего 2 узла, а это гарантирует нам, что сумма всех значений по любому столбце есть ноль. Значит, матрицаизбыточна, одну любую строку можно вычеркнуть.

Такая матрица, полученная из вычеркиванием любой строки, называетсяредуцированной матрицей инциденции; поскольку мы в основном будет работать именно с этой матрицей, назовем ее обычной матрицей инциденции, а старую матрицу-полной матрицей инциденции.

Утверждение.– первый закон Кирхгофа.

Доказательство:

.

Путем матричного произведения получаем, очевидно, набор линейно зависимых уравнений; можно доказать, что произведениедаст нам набор линейно независимых уравнений.

Отметим еще одно важное свойство матрицы . Возьмем граф, изображенный на рисунке. Цифрами обозначены ветви графа, цифрами в кружках – узлы графа. Из того, что система уравненийлинейно независима, можно сделать вывод, что для решения цепи нам достаточно работать с 3 узлами. Можно построить такое выражение:

,

где - столбец разностей потенциалов на узле и на опорном узле (лишний узел, который отдельно можно не рассматривать, в нашем случае опорным будет узел 4):

Проверим записанное выше утверждение:

.

18. . Матрица сечений .

Алгоритм построения матрицы:

1) чертится граф-схема;

2) выбирается дерево;

3) выбираются условно-положительные направления ветвей;

4) нумеруются сначала ветви дерева, потом хорды;

5) выбираются базовые сечения;

6) направление сечения определяется направлением образующей его ветви дерева;

Структура матрицыопределяется выбором сечений. Сколько ветвей

имеет дерево, столько сечений. Выбор сечения, как и дерева, неоднозначен.

Определение:Сечение разделяет граф на 2 несвязанных подграфа, которые после объединения образуют исходный граф. Значит, мы можем выбрать сечения, проходящие не через одну, а через несколько ветвей дерева.

Сечение характеризуется направлением. Базовое(илибазисное) сечение определяется направлением ветви дерева (см. рисунки справа). Базисным будем называть сечение, проходящее через любое число хорд, но только через одну ветвь дерева. В дальнейшем мы будем работать только с базисными сечениями.

В нашем примере выберем сечения так, как показано на рисунке ниже. Обозначим на этом же рисунке направление каждого из сечений. Теперь запишем матрицу сечений:

Очевидно, матрица - блочная:

,

причем - единичная, никакой информации не несет.